전체 글49 30. 대칭행렬, 반대칭행렬, 대각행렬 30.1. Symmetric, Skew-Symmetric, Orthogonal Matrices. Square matrix $\mathbf {A} = [a_{jk}]$가 있을 때, $\mathbf {A}$의 Transpose matrix와도 같다면, 이 Matrix를 Symmetric matrix라고 합니다. $\mathbf {A} = \mathbf {A}^{\top}, \qquad thus \qquad a_{jk} = a_{kj}\cdots(1)$ Skew-Symmetric matrix는 $\mathbf {A}$가 Transpose matrix에 $-1$을 곱한 것과 같은 Matrix를 말합니다. 즉, $\mathbf {A} = -\mathbf {A}^{\top}, \qquad thus \qquad a_.. 2020. 5. 27. 29. 고윳값 문제 적용 29.1. Stretching of an Elastic Membrane. $x_1x_2$-plain 위에 존재하는 탄성적인 원형 막 ${x_1}^2 + {x_2}^2 = 1$이 존재한다고 합시다. 이 원 위의 한 점 $P(x_1, y_1)$에서 $Q(y_1, y_2)$으로 다음과 같은 조건을 만족하면서 늘인다고 합시다. $\mathbf {y} = \begin {bmatrix} y_1\\y_2 \end {bmatrix} = \mathbf {Ax} = \begin {bmatrix} 5&3\\3&5 \end {bmatrix} \begin {bmatrix} x_1 \\x_2 \end {bmatrix};\quad \begin {cases} y_1 = 5x_1 + 3x_2\\y_2 = 3x_1 + 5x_2\end .. 2020. 5. 27. 28. 고윳값 문제 28.1. The Matrix Eigenvalue Problem. 다음과 같은 Vector equation을 생각해봅시다. $\mathbf {Ax} = \lambda\mathbf {x}\cdots(1)$ (1)과 같은 Equation을 Eigenvalue Equation이라고 합니다. 여기서 $\mathbf {A}$는 square matrix이고, $\lambda$는 미지 scalar, 그리고 $\mathbf {x}$는 미지 vector입니다. Eigenvalue problem는 (1)을 만족하는 $\lambda$와 $\mathbf {x}$의 값을 구하는 것이 목적입니다. $\mathbf {x} = 0$인 경우는 자명하므로, $\mathbf {x} \neq 0$인 경우를 생각하여 $\lambda$를 구합.. 2020. 5. 26. 27. 크래머(Cramer) 공식, 가우스-조던 소거법 (Gauss-Jordan Elimination) 27.1. Cramer's Rule. 변수와 방정식의 개수가 같은 다음과 같은 연립방정식이 있다고 합시다. $\begin {cases} a_{11} x_1+a_{12} x_2+\cdots+a_{1n} x_n = b_1\\a_{21} x_1 + a_{22} x_2 +\cdots+a_{2n} x_n = b_2\\\qquad\qquad\qquad\quad\vdots\\a_{n1} x_1 + a_{n2} x_2 + \cdots + a_{nn} x_n = b_n\end {cases}\cdots(1)$ (1)을 Matrix 형태로 바꾸면 다음과 같아집니다. $\begin {bmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots.. 2020. 5. 22. 26. 행렬식 26.1. Determinant. $2 \times 2$, $3 \times 3$ matrix의 Determinant는 다음과 같이 정의합니다. $D = \det {A} = \begin {vmatrix} a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end {vmatrix}=a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21}\cdots(1)$ $D = \det {A} = \begin {vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end {vmatrix} = a_{11} \begin {vmatrix} a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end {vmatrix} - a_{12}\begin {vmatri.. 2020. 5. 19. 25. 행렬의 계수(Rank) 25.1. Rank of a Matrix. Matrix에서 Rank란, 선형 독립인 row vector의 최댓값입니다. 먼저 다음과 같은 Matrix가 있다고 합시다. $\mathbf {A} = \begin {bmatrix} 1&2&2&2\\2&4&6&8\\3&6&8&10\end {bmatrix}\cdots(1)$ (1)을 Gauss Elimination 합니다. 그러면 다음과 같은 Matrix가 됩니다. $\begin {bmatrix} {\color {Red}1}&{\color {Blue}2}&{\color {Red}2}&{\color {Blue}2}\\{\color {Red}0}&{\color {Blue}0}&{\color {Red}2}&{\color {Blue}4}\\{\color {Red}0}&{.. 2020. 5. 18. 24. 벡터 공간(Vector Space) 24.1. Vector Space. Vector space는 다음을 만족해야 합니다. 1) Vector 들의 모임. 2) Vector $\vec {\mathbf {v}}$, $\vec {\mathbf {w}}$ 가 존재할 때, $\vec {\mathbf {v}}+\vec {\mathbf {w}}$와 $c\vec {\mathbf {v}}$가 같은 공간이어야 합니다. 3) Vector $\vec{\mathbf{v}}$, $\vec {\mathbf {w}}$ 가 존재할 때, 두 Vector의 선형 결합 $c_1\vec {\mathbf {v}} + c_2\vec {\mathbf {w}}$가 같은 공간이어야 합니다. 몇 가지 예를 들어 주어진 Space가 Vector Space 인지 판단해 봅시다. Ex) 1. .. 2020. 5. 17. 23. 연립 일차 방정식과 가우스 소거법 23.1. Linear Systems of Equations. 다음 연립방정식이 있다고 합시다. $\begin {cases} a_{11} x_1 + \cdots + a_{1n} x_n = b_1 \\ a_{21} x_1 + \cdots + a_{2n} x_n = b_2 \\ \cdots \\ a_{m1} x_1 + \cdots + a_{mn} x_n = b_m \end {cases}$ (1) 이제 이 연립방정식을 matrix를 이용하여 $\mathbf{Ax} = \mathbf {b}$와 같이 나타내 봅시다. $\mathbf {A} = [a_{ij}] = \begin {bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2.. 2020. 5. 15. 22. 행렬 곱셈, 선형 변환, 전치 행렬 앞선 포스팅에서 Matrix의 합과 Scalar multiplication에 대하여 알아보았습니다. 이번에는 다른 연산인 Matrix의 곱에 대하여 알아보겠습니다. 22.1. Matrix Multiplication. 크기가 $m \times n$인 Matrix $\mathbf{A} = [a_{jk}]$와 크기가 $r \times p$인 Matrix $\mathbf {B} = [b_{jk}]$가 있다고 합시다. 그리고 두 Matrix의 곱을 $\mathbf {AB} = \mathbf {C}$라 합시다. 이때 $\mathbf {C}$가 존재하기 위해서는, $n = r$이어야 합니다. 즉 $\mathbf {A}$의 column과 $\mathbf {B}$의 row의 수가 같아야 Matrix의 곱 $\mathbf.. 2020. 5. 10. 이전 1 2 3 4 5 6 다음
