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37. 벡터장의 회전(Curl)과 발산(Divergence) 37.1. Divergence of a Vector Field. Gradient는 Scalar field에서 Vector field를 얻어냈습니다. 그 반대로 Divergence(발산)는 Vector field를 Scalar field로 바꾸는 도구입니다.

$xyz$ -직교 좌표계에서 미분 가능한 벡터 함수

$\mathbf {v}(x, y, z) = [v_1, v_2, v_3]$ 가 존재한다 합시다.

$\mathbf {v}$ 의 Divergence는 다음과 같이 정의됩니다. $\mathrm {div}\ \mathbf {v} = \frac {\partial v_1}{\partial x} + \frac {\partial v_2}{\partial y} + \frac {\partial v_3}{\partial z} .. 2020. 6. 13.

36. 스칼라장의 그래디언트 36.1. Gradient. Gradient는 Scalar field로부터 Vector field를 얻을 수 있게 하는 도구입니다. 스칼라 함수

$f(x, y, z)$ 가 주어지고

$f$ 가 3차원 공간

$xyz$ -직교 좌표계에서 미분 가능하다고 합시다. 이 함수

$f$ 의 Gradient를

$\mathrm {grad}\ f$ 또는

$\nabla f$ 로 표기하도록 약속합시다. 그렇다면

$\nabla f$ 는 다음과 같이 정의됩니다. $\nabla f = \left[ \frac {\partial f}{\partial x}, \frac {\partial f}{\partial y},\frac {\partial f}{\partial z}\right] = \frac {\partial f}{\partial x}\mathb.. 2020. 6. 12.

35. 역학의 곡선 : 속도, 가속도 35.1. Arc Length as Parameter. 곡선 C의 위치 벡터를

$\mathbf {r}$ 이라 합시다. 지난 포스팅의 선형 요소에서, 다음 식을 구했습니다.

$(\frac {ds}{dt})^2 = |\mathbf {r}'(t)|^2 \cdots (1)$ (1)에서

$t = s$ 를 대입합니다.

$(\frac {ds}{ds})^2 = 1 = |\mathbf {r}'(s)|^2 \cdots (2)$ (2)에서

$|\mathbf {r}'(s)|$ = 1인 것을 알 수 있습니다. 즉

$\mathbf {r}'(s)$ 의 크기가 1이라는 말인데, 이는

$\mathbf {r}'(s)$ 는 단위 벡터라는 사실을 알았습니다.

$\mathbf {u}(s) = \mathbf {r}'(s)\cdots (3)$ 35.2.. 2020. 6. 9.

34. 곡선의 접선, 곡선의 길이 34.1. Tangent to a Curve. 다음과 같은 [그림 1]을 생각해 봅시다. 곡선 경로

$C$ 를 따라 이동하는 점에 대하여 시간

$t$ 일 때 위치 벡터를

$\mathbf {r}(t)$ 이라 합시다. 이 때 점의 위치를

$P$ 라 합시다.

$\Delta t$ 만큼의 시간이 지난 위치를

$Q$ 라 하면,

$Q$ 의 위치 벡터는

$\mathbf {r}(t + \Delta t)$ 임을 알 수 있습니다. 두 위치 벡터의 변화량을 알기 위해

$L$ 의 기울기를 구해봅시다. 위치 벡터의 변화량

$\vec {PQ}$ 는 다음과 같습니다.

$\vec {PQ} = \mathbf {r}(t + \Delta) - \mathbf {r}(t) \cdots (1)$ (1)에서 독립 변수인 시간 변화량을 나누게 되면

$L$ 의 기울기가.. 2020. 6. 6.

33. 벡터미적분학 : 미분, 곡선 33.1. Vector Calculus : Derivatives. 3차원위의 임의의 점

$P$ 를 가리키는 벡터 함수를 다음과 같이 정의합시다.

$\mathbf {v} = \mathbf {v}(P) = [v_1(P), v_2(P), v_3(P)] = v_1(P)\mathbf {i} + v_2(P)\mathbf {j} + v_3(P)\mathbf {k}\cdots(1)$ 이 벡터 함수가 점

$t_0$ 에서 다음을 식을 만족한다고 합시다.

$\lim_{t \to t_0} \mathbf {v}(t) = \mathbf {v}(t_0)\cdots(2)$ (2)를 만족하면 이 벡터 함수는

$t = t_0$ 인 점에서 연속이라고 합니다. 미적분학에서

$t$ 에서 연속이고

$t$ 에서 좌미분계수와 우미분계수가 같다면, 점 $t.. 2020. 6. 5.

32. 벡터미적분학 : 내적과 외적 선형 대수학에 대한 포스팅이 이제 끝이 났네요. 이번 포스팅부터 벡터 미적분에 대하여 포스팅하겠습니다. 기본적인 벡터에 관한 지식과 벡터의 합은 생략하고 벡터의 내적과 외적에 대하여 먼저 포스팅을 시작하겠습니다. 32.1. Inner Product. 3차원 공간에서 두 개의 벡터

$\mathbf {a} = (a_1, a_2, a_3)$ ,

$\mathbf {b} = (b_1, b_2, b_3)$ 가 존재한다고 합시다. 이 두 개의 벡터가 이루는 각을

$\gamma$

$(0 \leq \gamma \leq \pi)$ 라고 합시다. 두 개의 벡터의 내적은 다음과 같이 정의합니다. $\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} = |\mathbf {a}||\mathbf {b}|\cos {\gamma} \ \.. 2020. 6. 3.

31. 대각화와 이차 형식 31.1. Diagonalization. 크기가

$n \times n$ 인 Matrix

$\mathbf {A}$ 가 존재하고, 크기가

$n \times n$ 인 Matrix

$\mathbf {\hat {A}}$ 가 다음을 만족할 때,

$\mathbf {\hat {A}} = \mathbf {P^{-1} AP} \cdots (1)$

$\mathbf {\hat {A}}$ 는

$\mathbf {A}$ 에 Similar 하다고 하고, 이 Transformation을 Similarity transformation이라 합니다. 이때

$\mathbf {P}$ 는 크기가

$n \times n$ 인 임의의 matrix입니다.

$\mathbf {\hat {A}}$ 는

$\mathbf {A}$ 와 같은 Eigenvalue를 갖습니다. $\ma.. 2020. 5. 29.

30. 대칭행렬, 반대칭행렬, 대각행렬 30.1. Symmetric, Skew-Symmetric, Orthogonal Matrices. Square matrix

$\mathbf {A} = [a_{jk}]$ 가 있을 때,

$\mathbf {A}$ 의 Transpose matrix와도 같다면, 이 Matrix를 Symmetric matrix라고 합니다.

$\mathbf {A} = \mathbf {A}^{\top}, \qquad thus \qquad a_{jk} = a_{kj}\cdots(1)$ Skew-Symmetric matrix는

$\mathbf {A}$ 가 Transpose matrix에

$-1$ 을 곱한 것과 같은 Matrix를 말합니다. 즉, $\mathbf {A} = -\mathbf {A}^{\top}, \qquad thus \qquad a_.. 2020. 5. 27.

29. 고윳값 문제 적용 29.1. Stretching of an Elastic Membrane.

$x_1x_2$ -plain 위에 존재하는 탄성적인 원형 막

${x_1}^2 + {x_2}^2 = 1$ 이 존재한다고 합시다. 이 원 위의 한 점

$P(x_1, y_1)$ 에서

$Q(y_1, y_2)$ 으로 다음과 같은 조건을 만족하면서 늘인다고 합시다. $\mathbf {y} = \begin {bmatrix} y_1\\y_2 \end {bmatrix} = \mathbf {Ax} = \begin {bmatrix} 5&3\\3&5 \end {bmatrix} \begin {bmatrix} x_1 \\x_2 \end {bmatrix};\quad \begin {cases} y_1 = 5x_1 + 3x_2\\y_2 = 3x_1 + 5x_2\end .. 2020. 5. 27.

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