미분방정식4 20. 라플라스 변환 형태의 미분과 적분 20.1. Differentiation of Transforms. Laplace transform 한 함수를 미분해 봅시다. $F(s) = \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) dt$ (1) (1)을 미분하면 다음과 같습니다. $\frac{dF}{ds} = -\int_{0}^{\infty} e^{-st} tf(t) dt$ (2) (2)의 우변은 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다. $-\int_{0}^{\infty} e^{-st}tf(t)dt = -\mathcal {L}(tf(t))$ (3) 따라서 결론을 정리하면 다음과 같습니다. $F'(s) = -\mathcal{L}(tf(t))$ (4) 예제를 풀어봅시다. Ex) 1. $\mathcal{L}(t\sin{\beta t})$ (4)에 주.. 2020. 5. 6. 4. 적분 인자 4.Integrating Factors. $M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0$에서 exact 할 조건인 $\frac {\partial M}{\partial y} = \frac {\partial N}{\partial x}$를 항상 만족하는 것은 아닙니다. 하지만 이전 포스트의 방법으로 풀기 위해서는 먼저 exact 하다는 조건을 만족해야 했습니다. 만일 exact하지 않은 경우인 $\frac {\partial P}{\partial y} \neq \frac {\partial Q}{\partial x}$인 $P(x, y)$, $Q(x, y)$가 있다고 합시다. $P$,$Q$로 이루어진 미분방정식 $P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0$은 exact하지 않기 때문에 이전 포스트의 방법으로는.. 2020. 4. 10. 2. 변수 분리 2.1. Separable ODEs. 변수 분리는 대표적인 OED를 푸는 해법입니다. 다음과 같은 OED가 있다고 합시다. $g(y)y' = f(x)$ (1) 양변에 $dx$를 곱하면 다음과 같이 변하게 됩니다. $g(y)\frac{dy}{dx}dx = f(x)dx$ (2) $f$와 $g$가 연속함수라면, 양변의 적분이 가능합니다. 양변을 각 변수에 대해 적분을 하게 되면 $\int g(y)dy = \int f(x)dx + c$ (3) 의 결과를 얻게 됩니다. (1)에서 볼 수 있듯이, 변수 분리를 이용하여 미분방정식을 풀기 위해서는 좌변은 오직 $y$에 대한 함수로만 이루어져 있어야 하고, 우변은 오직 $x$에 대한 함수로 이루어져 있어야 합니다. 두 가지 예제를 풀어보도록 하겠습니다. Ex) 1. $.. 2020. 4. 9. 1. 1계 상미분방정식의 기본 개념 제가 공업수학을 학습하는 데 사용한 교재는 이고, 작성 순서 또한 이 책의 순서를 따르며 배우지 않은 내용은 누락될 수도 있습니다. 교재와 참고자료를 영어로 학습했기 때문에 주요 명칭이나 제목을 영어로 지칭할 수도 있습니다. (글 제목은 한글로 달아 두었습니다 - 2023/01/26 수정) 1.1. Basic Concepts 이 챕터의 주제는 ODE입니다. OED란 Ordinary Differential Equation의 준말로 상미분방정식을 지칭하는 말입니다. 상미분방정식이란 어떤 미지 함수가 독립 변수 하나만을 가지고 있는 미분방정식을 말합니다. 예를 들어 다음과 같은 방정식을 말합니다. $y'=\sin x$ $y''+5y=0$ 종속 변수 $y$는 오로지 단 하나의 독립 변수 $x$만을 가집니다. 만.. 2020. 4. 8. 이전 1 다음