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벡터미적분학8

43. 스토크스(Stokes) 정리 43.1. Stokes' Theorem. 선적분과 이중적분을 바꾸어주는 도구가 Green 정리였고, 면적분과 삼중적분을 바꾸어 주는 도구가 발산 정리였습니다. Stokes 정리는 선적분과 면적분을 서로 바꾸어주는 도구입니다. 곡면

$S$ 가 공간에 존재하고

$S$ 의 경계 곡선을

$C$ 라고 합시다.

$S$ 에서 연속인 벡터 함수

$\mathbf {F}$ 가 존재하고

$\mathbf {F}$ 의 편도함수도 연속 함수라고 하면 Stokes 정리는 다음과 같습니다.

$\int \int_{S} (\nabla \times \mathbf {F}) \cdot \mathbf {n} dA = \oint_{C} \mathbf {F} \cdot \mathbf {r}'(s) ds \cdots (1)$ (1)의

$\mathbf {n}$ .. 2020. 6. 26.

42. 가우스의 발산 정리 가우스의 발산 정리는 삼중적분을 면적분으로 바꾸어주는 도구입니다. 삼차원 공간에 닫혀 있는 공간

$T$ 가 존재하고,

$T$ 의 경계 곡면을

$S$ 라 합시다. 벡터 함수

$\mathbf {F}$ 가 주어지고

$\mathbf {F}$ 가 연속이고 연속인 편도함수가 존재하면, 다음 식을 발산 정리라고 합니다.

$\int\!\int\!\int_{T} \nabla \cdot \mathbf {F} dV = \int \int_{S} \mathbf {F} \cdot \mathbf {n} dA \cdots (1)$ 성분으로 나타내 봅시다.

$\mathbf {F} = [F_1,F_2,F_3]$ ,

$\mathbf {n} = [\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma]$ 라 합시다. 이때 $\al.. 2020. 6. 23.

40. 그린(Green) 정리 40.1. Green's Theorem in the Plain. Green 정리는 선적분과 이중적분간을 변환시켜주는 도구입니다.

$xy$ 평면 위에 폐곡선

$C$ 가 존재하고

$C$ 가 이루는 닫힌 면을

$R$ 이라고 합시다.

$F_1(x, y)$ ,

$F_2(x, y)$ 가 연속 함수이고

$R$ 내에 연속인 편도함수

$\frac {\partial F_1}{\partial y}$ ,

$\frac {\partial F_2}{\partial x}$ 가 존재한다고 합시다. Green 정리는 다음과 같습니다. $\int \int_{R} \left( \frac {\partial F_2}{\partial x} - \frac {\partial F_1}{\partial y} \right) dxdy = \oint_{C}(F_1dx +.. 2020. 6. 22.

39. 적분 경로의 독립 39.1. Path Dependence. 선적분은 구간의 시점과 종점뿐만 아니라, 적분 경로에 따라서도 적분 결과가 달라집니다. 다음 예시를 풀어 보면서 확인해봅시다. Ex) 1. 시점과 종점이 같지만 적분 경로가 다른 두 선적분의 결과를 비교해 봅시다. [그림 1]의

$C_1$ 은

$\mathbf {r}_1(t) = [t, t,0]$ 을 따르고,

$C_2$ 는

$\mathbf {r}_2(t) = [t, t^2,0]$ 이고, 두 경로 모두 구간

$0 \leq t \leq 1$ 입니다.

$\mathbf {F} = [0, xy,0]$ 의 각 경로에 따른 선적분을 비교해 봅시다.

$C_1$ 의 선적분을 먼저 구해봅시다.

$\mathbf {r}_1$ 을

$\mathbf {F}$ 에 대입해봅시다. $\mathbf {F}(\mat.. 2020. 6. 19.

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