전체 글57 20. 라플라스 변환 형태의 미분과 적분 20.1. Differentiation of Transforms. Laplace transform 한 함수를 미분해 봅시다. $F(s) = \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) dt$ (1) (1)을 미분하면 다음과 같습니다. $\frac{dF}{ds} = -\int_{0}^{\infty} e^{-st} tf(t) dt$ (2) (2)의 우변은 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다. $-\int_{0}^{\infty} e^{-st}tf(t)dt = -\mathcal {L}(tf(t))$ (3) 따라서 결론을 정리하면 다음과 같습니다. $F'(s) = -\mathcal{L}(tf(t))$ (4) 예제를 풀어봅시다. Ex) 1. $\mathcal{L}(t\sin{\beta t})$ (4)에 주.. 2020. 5. 6. 19. 합성곱(Convolution) 19.1. Convolution. Laplace transform은 다음과 같은 식을 만족함을 이미 알고 있습니다. $\mathcal {L}(f+g) = \mathcal {L}(f) + \mathcal {L}(g)$ (1) 하지만 (1)과는 다르게 곱의 변환은 일반적으로 만족하지 않습니다. $\mathcal{L}(fg) \neq \mathcal {L}(f)\mathcal {L}(g)$ (2) (2)를 확인하기 위해 예를 들어 봅시다. $f = e^t$, $g = 1$이라 하고 (2)의 좌변과 우변의 식으로 각각 계산해 봅시다. $\mathcal{L}(fg) = \mathcal {L}(e^t\cdot1) = \mathcal {L}(e^t) = \frac {1}{s-1}$ (3) $\mathcal{L}(f).. 2020. 5. 3. 18. 디랙 델타 함수 Dirac delta function이 어떤 함수인지를 알기 전에, 다음과 같은 함수를 정의합시다. $f_k(t-a) = \begin {cases} \frac {1}{k} & (a \leq t \leq a+k) \\ 0 & (otherwise) \end {cases}$ (1) (1)의 함수 $f_k(t-a)$의 0부터 $\infty$까지의 정적분 값을 $l_k$라 하고 이 값을 구해보도록 하겠습니다. $l_k = \int_{0}^{\infty} f_k(t-a)dt = \int_{a}^{a+k} \frac {1}{k} dt = 1$ (2) 공학에서 시간 구간 $a \leq t \leq a+k$ 에서 힘의 적분 값을 Impulse(충격량)라고 합니다. 즉 (2)에서 $l_k$는 $f_k(t-a)$라는 힘이 .. 2020. 5. 1. 17. 단위 계단 함수 Unit step function을 다음과 같은 함수로 정의합시다. $u(t-a) = \begin {cases}0 & (t a)\end {cases}$ (1) $t$가 $a$보다 크면 1이고, 작다면 0인 함수인 셈입니다. Unit step function의 Laplace transform을 해보겠습니다. $L(u(t-a)) = \int_{0}^{\infty} e^{-st}u(t-a)dt = \int_{a}^{\infty} e^{-st} \cdot 1 dt = - \frac {e^{-st}}{s}|_{t = a}^{\infty} = \frac {e^{-st}}{s}$ $(s > 0)$ (2) $L(u(t-a)) = \frac {e^{-st}}{s}$임을 알 수 있네요. $\frac {1}{s}$는 $L(.. 2020. 5. 1. 16. 상미분방정식의 미분항과 적분항의 라플라스 변환 1. Laplace Transform of Derivatives 미분항의 Laplace transform은 다음과 같습니다. $L(f') = sL(f) - f(0)$ (1) $L(f'') = s^2L(f) - sf(0) - f'(0)$ (2) 증명해 보겠습니다. 먼저 Laplace transform 공식에 대입해 봅시다. $L(f') = \int_{0}^{\infty} e^{-st} f'(t) dt$ (3) 부분 적분법을 이용해 (3)의 적분항을 풀어줍니다. $\int_{0}^{\infty} e^{-st} f'(t)dt = e^{-st} f(t)|_{0}^{\infty} + s\int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) dt = sL(f) - f(0)$ $\therefore L(f') = sL.. 2020. 4. 28. 15. 라플라스 변환 Laplace transform에 대하여 작성할 차례가 왔네요. 미분방정식을 푸는 정말 강력한 도구입니다. 쉽게 생각하면 방정식을 다른 domain으로 바꾸어 풀기 쉬운 식으로 바꾸고, 구한 solution을 원래 domain으로 바꾸어 가져온다고 생각하시면 됩니다. 먼저 어떤 것이 Laplace transform인지 알아봅시다. 1. Laplace Transform $f(t)$의 모든 $t$에 대하여 $t \geq 0$이면, 이 함수의 Laplace transform 한 함수 $F(s)$는 $e^{-st}$를 곱하고 0부터 $\infty$까지 정적분 한 함수로 나타냅니다. 식으로 나타내면 다음과 같습니다. $F(s) = L(f) = \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) dt$ (1) .. 2020. 4. 27. 14. 수렴 구간, 수렴 반경 Power series의 일반적인 형태는 다음과 같습니다. $\sum_{m=0}^{\infty} a_m(x-x_0)^m = a_0 + a_1(x - x_0) + a_2(x - x_0)^2 +... $ (1) 여기서 $n$번째 항까지의 부분합을 가져옵니다. $S_n(x) = a_0 + a_1(x-x_0) + a_2(x-x_0)^2 + ... + a_n(x - x_0)^n$ (2) (1)에서 (2)부분을 제외한 식을 $R_n(x)$라 하면, $R_n(x)$는 다음과 같습니다. $R_n(x) = a_{n+1}(x - x_0)^{n + 1} + a_{n+2}(x - x_0)^{n+2} +... $ (3) $x = x_1$일 때, (1)가 수렴한다고 가정합시다. 그렇다면 $\lim_{n \rightarrow \i.. 2020. 4. 24. 13. 상미분방정식의 급수 해법 미적분학에서 초월함수를 무한급수로 나타낼 수 있음을 배웠었습니다. 이 급수를 Power series라고도 부릅니다. 기본 형태를 살펴보면 다음과 같습니다. $\sum_{m=0}^{\infty} a_{m}(x-x_{0})^m = a_0 + a_1(x-x_0) + a_2(x-x_0)^2 +...$ (1) 여기서 만일 $x_0 = 0$이라면, 식을 더 간단하게 나타낼 수 있습니다. $\sum_{m=0}^{\infty} a_mx^m = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + ...$ (2) (2)와 같은 형태의 급수를 Maclaurin series 라고도 합니다. cf) Maclaurin series 로 자주 나오는 함수의 예 $\frac {1}{1-x} = \sum_{m=0}^{\infty} .. 2020. 4. 24. 12. 비제차 상미분방정식 - 매개변수 변환법 Homogeneous ODE의 General solution은 다음과 같습니다. $y_{h} = c_{1} y_{1} + c_{2} y_{2}$ (1) 여기서 임의의 상수 $c_{1}$, $c_{2}$를 $x$에 대한 함수 $u(x)$와 $v(x)$로 바꾼 것에서 아이디어를 가져옵니다. 식을 다시 써봅시다. $y_{p} = u(x)y_{1}(x) + v(x) y_{2}(x)$ (2) (2)의 $y_{p}$가 Particular solution이라 합시다. (2)의 양변을 미분하여 미분항을 구합니다. $y_{p}' = u'y_{1} + uy_{1}' + v'y_{1} + vy_{2}'$ (3) 간단히 하기 위해 $u'y_{1} + v'y_{2} =0$을 만족한다고 합시다. (3)식은 다음과 같이 간단히 변.. 2020. 4. 21. 이전 1 2 3 4 5 6 7 다음
