29. 고윳값 문제 적용

29.1. Stretching of an Elastic Membrane.

 $x_1x_2$-plain 위에 존재하는 탄성적인 원형 막 ${x_1}^2 + {x_2}^2 = 1$이 존재한다고 합시다. 이 원 위의 한 점 $P(x_1, y_1)$에서 $Q(y_1, y_2)$으로 다음과 같은 조건을 만족하면서 늘인다고 합시다.

 $\mathbf {y} = \begin {bmatrix} y_1\\y_2 \end {bmatrix} = \mathbf {Ax} = \begin {bmatrix} 5&3\\3&5 \end {bmatrix} \begin {bmatrix} x_1 \\x_2 \end {bmatrix};\quad \begin {cases} y_1 = 5x_1 + 3x_2\\y_2 = 3x_1 + 5x_2\end {cases}\cdots(1)$

 이때, 늘이는 방향을 구해봅시다. vector $\mathbf {x}$를 구하기 위해 $\mathbf {y} = \mathbf {\lambda x}$라 합시다. $\mathbf {Ax} = \mathbf {\lambda \mathbf {x}}$가 되고, 방정식은 다음과 같아집니다.

 $\begin {cases} 5x_1 + 3x_2 = \lambda x_1 \\ 3x_1+5x_2=\lambda x_2 \end {cases}\qquad or \qquad \begin {cases} (5-\lambda) x_1 + 3x_2 = 0\\3x_1 + (5-\lambda) x_2=0\end {cases}\cdots(2)$

 (2)의 Characteristic equation을 구해봅시다.

$\det(\mathbf {A} - \lambda \mathbf {I}) = \begin {vmatrix} 5-\lambda&3\\3&5-\lambda \end {vmatrix} = (5-\lambda)^2-9=(\lambda-2)(\lambda-8)=0 \cdots(3)$

 (3)에서 Eigenvalue가 $\lambda_1 = 2$, $\lambda_2 = 8$임을 알 수 있습니다. 각 경우에 대하여 Eigenvector를 구해봅시다.

 

 Case) 1. $\lambda_1 = 2$

 주어진 Eigenvalue를 대입하면 다음과 같습니다.

$\begin {bmatrix} -3&3\\3&-3 \end {bmatrix} \begin {bmatrix} x_1\\x_2 \end {bmatrix} = \begin {bmatrix} 0\\0 \end {bmatrix}\cdots(4)$

 (4)를 Gauss Elimination 하면 다음과 같이 간단해집니다.

$\begin {bmatrix} -3&3\\0&0 \end {bmatrix} \begin {bmatrix} x_1\\x_2 \end {bmatrix} = \begin {bmatrix} 0\\0 \end {bmatrix} \cdots (5)$

 (5)를 통해 Eigenvector를 구합니다. Eigenvalue $\lambda_1$을 통해 구해지는 Eigenvector를 $\mathbf {x_1}$로 씁시다.

$\therefore \mathbf {x_1} = \begin {bmatrix} 1\\1 \end {bmatrix} \cdots (6)$

 

 Case) 2. $\lambda_2 = 8$

 주어진 Eigenvalue를 대입하면 다음과 같습니다.

$\begin {bmatrix} 3&3\\3&3 \end {bmatrix} \begin {bmatrix} x_1\\x_2 \end {bmatrix} = \begin {bmatrix} 0\\0 \end {bmatrix} \cdots(7)$

 (7)을 Gauss Elimination 해서 간단하게 만듭니다.

$\begin {bmatrix} 3&3\\0&0 \end {bmatrix} \begin {bmatrix} x_1\\x_2 \end {bmatrix} = \begin {bmatrix} 0\\0 \end {bmatrix} \cdots(8)$

 (8)을 통해 Eigenvector를 구합니다. Eigenvalue $\lambda_2$를 통해 구해지는 Eigenvector도 $\mathbf {x_2}$로 표기합시다.

$\therefore \mathbf {x_2} = \begin {bmatrix} -1\\1 \end {bmatrix} \cdots (9)$

 

 (6)과 (9)를 통해 구해진 Eigenvector가 $x_1x_2$-plain의 $x_1$ 축의 양의 방향으로 $45^{\circ}$, $135^{\circ}$ 임을 알 수 있습니다. 즉, 주어진 탄성 원형 막을 $x_1$ 축의 양의 방향으로 $45^{\circ}$, $135^{\circ}$ 으로 늘였음을 알 수 있습니다. [그림 1]^[각주:1]을 참고하여 늘이기 전의 탄성 원형 막과 늘인 후 탄성 원형 막을 비교해 볼 수 있습니다.

[그림 1] 늘이기 전의 탄성 원형 막과 늘인 후의 탄성 원형 막.

 

29.2. Vibrating System of Two Masses on Two Springs.

 [그림 2]^[각주:2]처럼 2개의 물체와 2개의 스프링으로 구성된 계의 진동을 생각해 봅시다.

[그림 2] 두 개의 물체와 두 개의 스프링으로 구성된 계의 진동.

 이 계의 진동이 다음과 같은 상미분 방정식을 만족한다고 합시다.

$\begin {cases} y_1'' = -3y_1 -2(y_1-y_2) = -5y_1 + 2y_2 \\ y_2'' = -2(y_2-y_1) = 2y_1-2y_2 \end {cases} \cdots (10)$

 Matrix 형태로 (10)을 다시 써 봅시다.

$\mathbf {y''} = \begin {bmatrix} y_1''\\y_2'' \end {bmatrix} = \mathbf {Ay} = \begin {bmatrix} -5&2\\2&-2 \end {bmatrix} \begin {bmatrix} y_1\\y_2 \end {bmatrix}\cdots(11)$

 (11)을 만족하는 vector solution을 $\mathbf {y} = \mathbf {x} e^{\omega t}$로 알 수 있습니다. 미분하면 $\mathbf {y''} = \omega^2\mathbf {x} e^{\omega t}$이고, (11)에 대입해 봅시다.

 $\omega^2\mathbf {x}e^{\omega t} = \mathbf {Ax} e^{\omega t}\cdots(12)$

 (12) 양변의 $e^{\omega t}$를 소거하고 $\omega^2 = \lambda$라고 치환합시다. 그렇다면 (13)처럼 식을 바꿀 수 있습니다.

$\mathbf {Ax} = \lambda \mathbf {x}\cdots(13)$

 (13)에서 우리는 주어진 문제를 Eigenvalue problem으로 바뀐 것을 확인할 수 있습니다. Eigen value를 구하기 위해 Characteristic equation을 구해봅시다.

$\det (\mathbf {A} - \lambda \mathbf {I}) = \begin {vmatrix} -5-\lambda&2\\2&-2-\lambda \end {vmatrix} = (\lambda+6)(\lambda + 1) = 0\cdots(14)$

 (14)에서 Eigen value가 $\lambda_1 = -6$, $\lambda_2 = -1$임을 구했습니다. Eigen value를 대입하여 Eigen vector를 구해봅시다.

 

Case) 1. $\lambda_1 = -6$

 주어진 Eigen value를 대입합니다.

$\begin {bmatrix} 1&2\\2&4 \end {bmatrix} \begin {bmatrix} x_1\\x_2 \end {bmatrix} = \begin {bmatrix} 0\\0 \end {bmatrix} \cdots (15)$

 (15)를 Gauss Elimination 합니다.

$\begin {bmatrix} 1&2\\0&0 \end {bmatrix} \begin {bmatrix} x_1\\x_2 \end {bmatrix} = \begin {bmatrix} 0\\0 \end {bmatrix} \cdots (16)$

 (16)에서 Eigen vector를 구할 수 있습니다.

$\therefore \mathbf {x_1} = \begin {bmatrix} -2\\1 \end {bmatrix} \cdots (17)$

 

Case) 2. $\lambda_2 = -6$

 주어진 Eigen value를 대입합니다.

$\begin {bmatrix} -4&2\\2&-1 \end {bmatrix} \begin {bmatrix} x_1\\x_2 \end {bmatrix} = \begin {bmatrix} 0\\0 \end {bmatrix} \cdots (18)$

 (18)을 같은 방법으로 간단히 만들어줍니다.

$\begin {bmatrix} -4&2\\0&0 \end {bmatrix} \begin {bmatrix} x_1\\x_2 \end {bmatrix} = \begin {bmatrix} 0\\0 \end {bmatrix} \cdots (19)$

 (19)의 결과로 Eigen vector를 구합니다.

$\therefore \mathbf {x_2} = \begin {bmatrix} 1\\2 \end {bmatrix} \cdots (20)$

 

 (17), (20)을 통해 Eigen vector를 구했습니다. 이제 해를 구해봅시다. $\omega^2 = \lambda$로 치환했었기 때문에, $\omega$를 구하면 다음과 같습니다.

 $\omega_1 = \pm \sqrt {6} i$, $\omega_2 = \pm i$

 (11)을 참고하여 해의 형태를 써보면 다음과 같습니다.

$\mathbf {y} = \mathbf {x} e^{\omega t}\cdots(21)$

 (21)의 $e^{\omega t}$을 Euler's formula $e^{i\omega} = \cos {\omega} + i\sin {\omega}$를 사용해 식을 풀어봅시다.

$e^{\pm it} = \cos {t} \pm i\sin {t} \cdots (22)$

$e^{\pm \sqrt {6} it} = \cos {\sqrt {6} t} \pm i\sin {\sqrt{6}t} \cdots (23)$

 (22), (23)를 (21)에 대입해봅시다.

$\mathbf {y} = \mathbf {x_1}(a_1\cos {\sqrt {6} t}+b_1\sin {\sqrt {t}}) + \mathbf {x_2}(a_2\cos {t} + b_2 \sin {t})\cdots(24)$

 (24)에 (17), (20)을 대입하고 해를 구해봅시다.

$\begin {cases} y_1 = -2a_1\cos {\sqrt {6} t} - 2b_1\sin{\sqrt{6}t} + a_2\cos{t} + b_2\sin {t} \\ y_2 = a_1\cos{\sqrt{6}t} + b_1\sin {\sqrt {6} t}+2a_2\cos {t}+2b_2\sin {t} \end {cases} \cdots (25)$

 

 이번 포스팅은 여기서 마치겠습니다. 다음 포스팅에서 Symmetric, Skew-Symmetric, and Orthogonal Matrices에 대하여 다룰 예정입니다.

 

1. 이미지 출처 : Erwin Kryszig, Advanced Engineering Mathematics 10th edition, John Wiley & Sons inc., p331 [본문으로]
2. 이미지 출처 : 위와 같은 책, p332 [본문으로]