32. 벡터미적분학 : 내적과 외적

 선형 대수학에 대한 포스팅이 이제 끝이 났네요. 이번 포스팅부터 벡터 미적분에 대하여 포스팅하겠습니다. 기본적인 벡터에 관한 지식과 벡터의 합은 생략하고 벡터의 내적과 외적에 대하여 먼저 포스팅을 시작하겠습니다.

 

32.1. Inner Product.

 3차원 공간에서 두 개의 벡터 $\mathbf {a} = (a_1, a_2, a_3)$, $\mathbf {b} = (b_1, b_2, b_3)$가 존재한다고 합시다. 이 두 개의 벡터가 이루는 각을 $\gamma$ $(0 \leq \gamma \leq \pi)$라고 합시다. 두 개의 벡터의 내적은 다음과 같이 정의합니다.

 $\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} = |\mathbf {a}||\mathbf {b}|\cos {\gamma} \ \ (\mathbf {a} \neq \mathbf {0}, \mathbf {b} \neq \mathbf {0})\cdots (1)$

 $\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} = \mathbf {0}\ \ (\mathbf {a} = \mathbf {0} \ or\ \mathbf {b} = \mathbf {0})\cdots (2)$

 벡터의 성분끼리의 계산으로도 다음과 같이 구할 수 있습니다.

 $\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} = a_1b_1 + a_2b_2 + c_1c_2 \cdots (3)$

 (3)식의 결과값에서 알 수 있듯, 벡터 내적의 결과물은 스칼라입니다.

 (1)식에서 만일 두 벡터가 이루는 각의 크기가 $\frac {\pi}{2}$라면 $\cos {\frac {\pi}{2}} = 0$이기 때문에 내적 값이 0이 됨을 알 수 있습니다. 이는 두 벡터가 서로 수직이라면, 내적 값이 0 임을 의미합니다. 식 (1)을 적절히 변형하여 벡터만으로 각을 구할 수 있습니다.

 $\cos {\gamma} = \frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b}}{|\mathbf {a}||\mathbf {b}|}\cdots(4)$

내적은 다음과 같은 법칙을 만족합니다.

 1) $(q_1\mathbf {a} + q_2\mathbf  {b})\cdot \mathbf {c} = q_1\mathbf {a}\cdot\mathbf {c} + q_2\mathbf {b}\cdot\mathbf {c}$

 2) $\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} = \mathbf {b} \cdot \mathbf {a}$

 3) $\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} \geq 0 ,\qquad \mathbf {a} \cdot \mathbf {a} = 0\quad if\quad \mathbf {a} =\mathbf {0}$

 

32.2. Cross Product.

 3차원 공간 두 개의 벡터 $\mathbf {a} = (a_1,a_2,a_3)$, $\mathbf {b} = (b_1, b_2, b_3)$가 존재한다고 합시다. 이 두 벡터의 외적을 $\mathbf {v}$라 하고 다음과 같이 씁시다. 외적의 결과는 벡터입니다.

 $\mathbf {v} = \mathbf {a} \times \mathbf {b} \cdots (5)$

 1) $\mathbf {a}$나 $\mathbf {b}$가 $\mathbf {0}$이라면 $\mathbf {v} = \mathbf {a} \times \mathbf {b} = 0$이라 정의합시다.

 2) $\mathbf {a}$와 $\mathbf {b}$ 모두 영벡터가 아니면, $\mathbf {v}$의 크기는 다음과 같습니다.

$|\mathbf {v}| = |\mathbf {a} \times \mathbf {b}| = |\mathbf {a}||\mathbf {b}| \sin {\gamma} \cdots (6)$

    내적의 경우와 같이 $\gamma$는 $\mathbf {a}$와 $\mathbf {b}$가 이루는 각이고, $0 \leq \gamma \leq \frac {\pi}{2}$의 범위를 갖습니다.

 3) 2)에서 확인할 수 있듯, $\gamma = 0$ 또는 $\gamma = \frac {\pi}{2}$인 경우 외적의 결과는 영 벡터가 됩니다.

 4) $\mathbf {a}$와 $\mathbf {b}$가 영벡터가 아니며, 두 벡터가 이루는 각 $\gamma$가 $\gamma \neq 0$이고 $\gamma \neq \frac {\pi}{2}$이면 $\mathbf {v} \neq \mathbf {0}$입니다. 이때 벡터 $\mathbf {v}$의 방향은

     $\mathbf {a}$벡터에서 $\mathbf {b}$벡터로 휘어 감아 쥐었을 때 엄지 손가락의 방향과 같습니다. 이는 오른나사의 방향과 같습니다.

     그림^[각주:1]을 참고하면 다음과 같습니다.

[그림 1] 벡터의 내적 방향

 벡터의 성분으로 외적을 구해봅시다. Determinant를 이용하면 성분으로 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

$\mathbf {v} = \mathbf {a} \times \mathbf {b} = \begin {vmatrix} \mathbf {i}&\mathbf {j}&\mathbf {k}\\a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3 \end {vmatrix} = \begin {vmatrix} a_2&a_3\\b_2&b_3 \end {vmatrix} \mathbf {i} -\begin {vmatrix} a_1&a_3\\b_1&b_3 \end {vmatrix} \mathbf {j} + \begin {vmatrix} a_1&a_2\\b_1&b_2 \end {vmatrix} \mathbf {k}\cdots (7)$

 

 외적은 다음과 같은 법칙을 만족합니다.

  1) $(l\mathbf {a})\times \mathbf {b} = l(\mathbf {a} \times \mathbf {b}) = \mathbf {a} \times (l\mathbf {b})$

  2) $\mathbf {a} \times (\mathbf {b} + \mathbf {c}) = (\mathbf {a} \times \mathbf {b}) + (\mathbf {a} \times \mathbf {c})$

  3) $(\mathbf {a} + \mathbf {b}) \times \mathbf {c} = (\mathbf {a} \times \mathbf {c}) + (\mathbf {b} \times \mathbf {c})$

  4) $\mathbf {b} \times \mathbf {a} = -(\mathbf {a} \times \mathbf {b})$

  5) $\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c}) \neq (\mathbf {a} \times \mathbf {b}) \times \mathbf {c}$

 위에서 확인할 수 있듯 외적은 분배 법칙이 성립하지만 교환 법칙, 결합 법칙이 성립하지 않음을 확인 할 수 있습니다. 부호를 바꾸면 교환 법칙이 성립하지만 결합 법칙은 성립하지 않으므로 외적의 계산에서 괄호는 생략할 수 없습니다.

 

 32.3. Scalar Triple Product.

 스칼라 삼중적이라고도 합니다. 세 개의 벡터 $\mathbf {a}$, $\mathbf {b}$, $\mathbf {c}$가 있다고 할 때, 스칼라 삼중적은 다음과 같이 정의됩니다.

$(\mathbf {a}\ \ \mathbf {b} \ \ \mathbf {c}) = \mathbf {a}\cdot(\mathbf {b} \times \mathbf {c})\cdots(8)$

 (8)에서 $\mathbf {b} \times \mathbf {c} = \mathbf {v}$라 하고, $\mathbf {v} = (v_1, v_2, v_3)$라 합시다. 스칼라 삼중적의 결과는 $\mathbf {v}$를 이용하면 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

$\mathbf {a}\cdot(\mathbf {b} \times \mathbf {c}) = \mathbf {a} \cdot \mathbf {v} = a_1v_1 + a_2v_2 + a_3v_3 \cdots (9)$

 (7)을 참고하여 (9)를 더 간단하게 정리해 봅시다.

$a_1v_1 + a_2v_2 + a_3v_3 = a_1\begin {vmatrix} b_2&b_3\\c_2&c_3 \end {vmatrix} - a_2 \begin {vmatrix} b_1&b_3\\c_1&c_3 \end {vmatrix} + a_3 \begin {vmatrix} b_1&b_2 \\ c_1&c_2 \end {vmatrix} = \begin {vmatrix} a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3\\c_1&c_2&c_3 \end {vmatrix} \cdots (10)$

 (10)을 통해 스칼라 삼중적을 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

$(\mathbf {a}\ \ \mathbf {b} \ \ \mathbf {c}) = \mathbf {a}\cdot(\mathbf {b} \times \mathbf {c}) = \begin {vmatrix} a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3\\c_1&c_2&c_3 \end {vmatrix} \cdots (11)$

 

 스칼라 삼중적의 기하학적 의미를 알아봅시다. 다음 그림^[각주:2]을 참고해 봅시다.

[그림 2] 스칼라 삼중적의 기하적 의미

 평행 육면체의 부피는 밑면의 넓이에 높이를 곱한 것과 같습니다. $|\mathbf {v}| = |\mathbf {b} \times \mathbf {c}| = |\mathbf {b}||\mathbf {c}|\sin {\gamma}$는 평행 육면체 밑면의 넓이와 같고, 이 외적 벡터 $\mathbf {v}$의 방향은 밑면에 수직인 방향입니다. (그림 2 참고) 외적 벡터의 크기 값에 높이 $h$만큼 곱한다면 평행 육면체의 부피가 구해지겠습니다. $h = |\mathbf {a}| |\cos {\beta}|$이므로, 평행 육면체의 부피는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

$V = |\mathbf {a}||\mathbf {v}||\cos {\beta}| = |\mathbf {a} \cdot \mathbf {v}| = |\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b \times c})|\cdots (12)$

 즉 세 벡터 $\mathbf {a, b, c}$가 이루는 평행 육면체의 부피는 세 벡터의 삼중적의 크기와 같음을 알 수 있습니다.

 

 이번 포스팅은 여기까지 마치겠습니다. 다음 포스팅에서 Vector Calculus : Derivatives, Curves. 에 대하여 작성할 예정입니다.

1. 이미지 출처 : Erwin Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics tenth edition, pp. 369 [본문으로]
2. 이미지 출처 : 같은 책, pp. 374 [본문으로]