37. 벡터장의 회전(Curl)과 발산(Divergence)

37.1. Divergence of a Vector Field.

 Gradient는 Scalar field에서 Vector field를 얻어냈습니다. 그 반대로 Divergence(발산)는 Vector field를 Scalar field로 바꾸는 도구입니다. $xyz$-직교 좌표계에서 미분 가능한 벡터 함수 $\mathbf {v}(x, y, z) = [v_1, v_2, v_3]$가 존재한다 합시다. $\mathbf {v}$의 Divergence는 다음과 같이 정의됩니다.

$\mathrm {div}\ \mathbf {v} = \frac {\partial v_1}{\partial x} + \frac {\partial v_2}{\partial y} + \frac {\partial v_3}{\partial z} \cdots (1)$

 (1)을 내적으로 다음과 같이도 쓸 수 있습니다.

$\mathrm {div}\ \mathbf {v} = \nabla\cdot\mathbf {v} = \left[\frac {\partial}{\partial x},\frac {\partial}{\partial y},\frac {\partial}{\partial z} \right]\cdot [v_1, v_2, v_3] = \frac {\partial v_1}{\partial x} + \frac {\partial v_2}{\partial y} + \frac {\partial v_3}{\partial z} \cdots (2)$

 예제를 풀어봅시다.

 

 Ex) 1. $\mathbf {v} = [3xz,2xy,-yz^2]$의 Divergence 구하기.

 주어진 예제를 (1)에 대입합니다.

$\mathrm {div}\ \mathbf {v} = [\frac {\partial}{\partial x}(3xz),\frac {\partial}{\partial y}(2xy),\frac {\partial}{\partial z}(-yz^2)] = [3z,2x,-2yz] \cdots (3)$

 

Sol) $\mathrm {div}\ \mathbf {v} = [3z,2x,-2yz]$

 

37.2. Laplacian.

 다음과 같은 연산을 Laplacian으로 정의합시다.

$\nabla^2 f = \frac {\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac {\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac {\partial^2 f}{\partial z^2} \cdots (4)$

 Laplacian을 다음과 같이 쓸 수도 있습니다.

$\nabla^2 = \Delta = \frac {\partial}{\partial x^2} + \frac {\partial}{\partial y^2} + \frac {\partial}{\partial z^2} \cdots (5)$

 Gradient와는 다르게 Laplacian의 결과는 스칼라입니다. Divergence와 Gradient로 Laplacian를 나타낼 수 있습니다.

$\mathrm {div}(\nabla f) = \nabla \cdot \nabla f =  \left[\frac {\partial}{\partial x},\frac {\partial}{\partial y},\frac {\partial}{\partial z}\right]\cdot\left [\frac {\partial f}{\partial x},\frac {\partial f}{\partial y},\frac {\partial}{\partial z}\right] = \frac {\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac {\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac {\partial^2 f}{\partial z^2} = \nabla^2 f \cdots (6)$

 

37.3. Curl of a Vector Field.

 Curl(회전)은 Vector field에서 다른 Vector field를 얻을 수 있습니다. Curl의 계산은 다음과 같이 정의됩니다. $\mathbf {v}$는 이전과 같은 조건입니다.

$\mathrm {curl}\ \mathbf {v} = \nabla \times \mathbf {v} = \begin {vmatrix} \mathbf {i}&\mathbf {j}&\mathbf {k}\\ \frac {\partial}{\partial x}&\frac {\partial}{\partial y}&\frac {\partial}{\partial z}\\ v_1&v_2&v_3 \end {vmatrix} = \left(\frac {\partial v_3}{\partial y} - \frac {\partial v_2}{\partial z}\right)\mathbf {i} + \left(\frac {\partial v_1}{\partial z} - \frac {\partial v_3}{\partial x}\right)\mathbf {j} + \left(\frac {\partial v_2}{\partial x} - \frac {\partial v_1}{\partial y}\right)\mathbf {k} \cdots (7)$

 예제를 풀어봅시다.

 

 Ex) 2. $\mathbf {v} = [yz,3zx,z]$의 curl 구하기.

 주어진 예제를 (7)에 대입해 봅시다.

$\mathrm {curl}\ \mathbf {v} = \begin {vmatrix} \mathbf {i}&\mathbf {j}&\mathbf {k}\\ \frac {\partial}{\partial x}&\frac {\partial}{\partial y}&\frac {\partial}{\partial z}\\ yz&3zx&z \end {vmatrix} = (0-3x)\mathbf {i} -(0-y)\mathbf {j} + (3z-z)\mathbf {k} = [-3x, y,2z] \cdots (8)$

 

Sol) $\mathrm {curl}\ \mathbf {v} = [-3x,y,2z]$

 

 Gradient의 Curl은 영벡터가 됩니다. 식으로 쓰면 다음과 같습니다.

$\mathrm {curl}\ (\mathrm {grad}\ f) = \nabla \times (\nabla\ f)\cdots(9)$

 벡터의 외적은 $(l\mathbf {a})\times\mathbf {b} = l(\mathbf {a} \times\mathbf {b})$가 성립하므로, (9)를 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

$\nabla \times (\nabla\ f) = (\nabla \times \nabla)\ f = \mathbf {0} \cdots (10)$

 Curl의 Divergence도 0이 됩니다. 식으로 써서 확인해 봅시다.

$\begin {matrix} \mathrm {div}(\mathrm {curl}\ \mathbf {v}) &=& \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {v}) = \left [\frac {\partial}{\partial x},\frac {\partial}{\partial y},\frac {\partial}{\partial z}\right]\cdot \left[\frac {\partial v_3}{\partial y} - \frac {\partial v_2}{\partial z},\frac {\partial v_1}{\partial z} - \frac {\partial v_3}{\partial x},\frac {\partial v_2}{\partial x} - \frac {\partial v_1}{\partial y}\right] \\ &=& \frac {\partial^2 v_3}{\partial x \partial y} - \frac {\partial^2 v_2}{\partial x \partial z} + \frac {\partial^2 v_1}{\partial y \partial z} - \frac {\partial^2 v_3}{\partial y \partial x} + \frac {\partial^2 v_2}{\partial z \partial x} - \frac {\partial^2 v_1}{\partial z \partial y} \end {matrix}\cdots (11)$

 $\mathbf {v}$가 미분 가능한 벡터 함수이기 때문에 연속입니다. 연속 함수는 편미분 순서를 바꾸어도 같기 때문에, (11)을 정리하면 0이 됩니다.

 $\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {v}) = \left(\frac {\partial^2 v_3}{\partial x \partial y} - \frac {\partial^2 v_3}{\partial y \partial x}\right) + \left(\frac {\partial^2 v_2}{\partial z \partial x} - \frac {\partial^2 v_2}{\partial x \partial z}\right) + \left(\frac {\partial^2 v_1}{\partial y \partial z} - \frac {\partial^2 v_1}{\partial z \partial y}\right) = 0 \cdots (12)$

 

 이번 포스팅은 여기서 마치겠습니다. 다음 포스팅에서 Line Integral에 대하여 작성할 예정입니다.