36. 스칼라장의 그래디언트

 

36.1. Gradient.

 Gradient는 Scalar field로부터 Vector field를 얻을 수 있게 하는 도구입니다. 스칼라 함수 $f(x, y, z)$가 주어지고 $f$가 3차원 공간 $xyz$-직교 좌표계에서 미분 가능하다고 합시다. 이 함수 $f$의 Gradient를 $\mathrm {grad}\ f$ 또는 $\nabla f$로 표기하도록 약속합시다. 그렇다면 $\nabla f$는 다음과 같이 정의됩니다.

$\nabla f = \left[ \frac {\partial f}{\partial x}, \frac {\partial f}{\partial y},\frac {\partial f}{\partial z}\right] = \frac {\partial f}{\partial x}\mathbf {i} + \frac {\partial f}{\partial y}\mathbf {j} +\frac {\partial f}{\partial z}\mathbf {k} \cdots (1)$

 (1)의 결과에 따라 $\nabla f$는 벡터 함수임을 확인할 수 있습니다. 예제를 하나 풀어보도록 하겠습니다.

 

Ex) 1. $f(x,y,z) = x^2 + 2yz$    $\nabla f$ ?

 주어진 함수를 (1)에 대입해 봅시다.

$\nabla f = \frac {\partial}{\partial x}(x^2 + 2yz)\mathbf {i} + \frac {\partial}{\partial y}(x^2 + 2yz)\mathbf {j} + \frac {\partial}{\partial z}(x^2 + 2yz)\mathbf {k} = 2x\mathbf {i} + 2z\mathbf {j} + 2y\mathbf {k}\cdots (2)$

 

Sol) $\nabla f = 2x\mathbf {i} + 2z\mathbf {j} + 2y\mathbf {k}$

 

36.2. Directional Derivative.

[그림 1] 방향 미분 계수

 [그림 1] ^[각주:1]을 참고합시다. 스칼라 함수 $f(x, y, z)$의 점 $P$에서 벡터 $\mathbf {b}$ 방향으로 방향 미분 계수를 $D_{\mathbf {b}}f$또는 $\frac {df}{ds}$로 표기하도록 약속합시다. 방향 미분 계수 $D_{\mathbf {b}}f$는 다음과 같이 정의됩니다.

$D_{\mathbf {b}}f = \frac {df}{ds} = \lim_{s \to 0} \frac {f(Q) - f(P)}{s} \cdots (3)$

 점 $Q$는 직선 L위에 $\mathbf {b}$방향으로 움직이는 임의의 점이고, $|s|$는 점 P와 점 Q의 거리입니다. $s>0$이라면 $Q$는 $\mathbf {b}$와 같은 방향으로 움직이고, $s <0$이라면 $Q$의 방향은 $-\mathbf {b}$와 같은 방향입니다. 만일 $s=0$이면, $P=Q$입니다.

 $\mathbf {b}$는 단위 벡터라 하고 $\mathbf {p_0}$를 점 P의 위치 벡터라 하면, 직선 L을 벡터로 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

$\mathbf {r}(s) = x(s)\mathbf {i} + y(s)\mathbf {j} + z(s)\mathbf {k} = \mathbf {p_0} + s\mathbf {b} \cdots (4)$

 (3)을 Chain Rule을 이용하여 변형하면 다음과 같습니다.

$D_{\mathbf {b}}f = \frac {df}{ds} = \frac {\partial f}{\partial x} \frac {\partial x}{\partial s} + \frac {\partial f}{\partial y} \frac {\partial y}{\partial s} + \frac {\partial f}{\partial z} \frac {\partial z}{\partial s} \cdots (5)$

 (4)의 양변을 $s$에 대하여 미분해 봅시다.

$\mathbf {r}'(s) = \frac {\partial x}{\partial s}\mathbf {i} + \frac {\partial y}{\partial s}\mathbf {j} + \frac {\partial z}{\partial s}\mathbf {k}=\mathbf {b}\cdots (6)$

 (1)과 (6)을 내적 하면 (5)를 얻을 수 있습니다. 따라서 다음과 같습니다.

$D_{\mathbf {b}}f = \frac {df}{ds} = \mathbf {b} \cdot \nabla f \cdots (7)$

 (7)의 조건으로 $\mathbf {b}$가 단위 벡터라는 제한이 있었습니다. 만일 단위 벡터가 아니라면, 그 벡터를 단위 벡터로 만들어주면 되겠습니다. $|\mathbf {a}| \neq 1$인 벡터 $\mathbf {a}$로 주어진다면 방향 미분 계수를 다음과 같이 구할 수 있습니다.

$D_{\mathbf {a}}f = \frac {1}{|\mathbf {a}|}\mathbf {a} \cdot \nabla f \cdots (8)$

 예제를 풀어봅시다.

 

 Ex) 2. $f(x, y, z) = 2x^2 + 3y^2 + z^2$,    $P:(2,1,3)$,   $\mathbf {a} = [1,0,-2]$           $D_{\mathbf {a}}f(P)$ ?

 $|\mathbf {a}| \neq 1$이므로, (8)식을 사용합시다. $|\mathbf {a}|$를 구하면 다음과 같습니다.

$|\mathbf {a}| = \sqrt {1^2 + (-2)^2} = \sqrt {5} \cdots (9)$

 $\nabla f$를 구합시다.

$\nabla f = \left [ \frac {\partial f}{\partial x}, \frac {\partial f}{\partial y}, \frac {\partial f}{\partial z} \right]=[4x,6y,2z] \cdots (10)$

 (10)에 주어진 조건 $P$를 대입합니다.

$\nabla f(P) = [4\cdot2,6\cdot1,2\cdot3] = [8,6,6] \cdots (11)$

 (9), (11)을 (8)에 대입합시다.

$D_{\mathbf {a}}f(P) = \frac {1}{|\sqrt {5}|} [1,0,-2]\cdot [8,6,6] = \frac {1}{\sqrt {5}}(8+0-12) = -\frac {4}{\sqrt {5}} \cdots (12)$

 

Sol) $D_{\mathbf {a}}f(P) = -\frac {4}{\sqrt {5}}$

 

36.3. Gradient as Surface Normal Vector.

 $f(x, y, z) = c$로 일정한 상수 값인 스칼라 함수 $f$가 만들어내는 Surface를 $S$라고 합시다. $S$를 $f$의 Level Surface라고도 합니다. $c$ 값에 따라 다른 $S$가 형성되겠죠. 이제 $S$위에서 움직이는 점 $P$가 만들어내는 곡선을 $C$라고 합시다. $C$의 위치 벡터를 $\mathbf {r}(t) = [x(t), y(t), z(t)]$라 합시다. $C$ 또한 $S$위에 존재하므로, 다음을 만족합니다.

$f\left(x(t), y(t), z(t)\right) = c \cdots (13)$

 이제 $C$의 접선 벡터를 생각해 봅시다. 접선 벡터는 $C$의 위치 벡터를 미분하면 얻을 수 있습니다.

$\mathbf {r}'(t) = [x'(t), y'(t), z'(t)] \cdots (14)$

 이제 이 접선 벡터 $\mathbf {r}'(t)$는 $S$위의 점 $P$에 접하는 평면을 만들어 냅니다. 이를 점 $P$에서 $S$의 Tangen surface(접평면)이라고도 합니다. 평면을 결정하려면 평면 위의 한 점, 평면의 normal vector가 필요하지요. (13)의 양변을 미분해 봅시다. Chain Rule을 이용합니다.

$\frac {df}{dt} = \frac {\partial f}{\partial x} \frac {\partial x}{\partial t} + \frac {\partial f}{\partial y} \frac {\partial y}{\partial t} + \frac {\partial f}{\partial z} \frac {\partial z}{\partial t} = 0 \cdots (15)$

 (1)과 (14)의 내적으로 (15)를 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

$\frac {\partial f}{\partial x} \frac {\partial x}{\partial t} + \frac {\partial f}{\partial y} \frac {\partial y}{\partial t} + \frac {\partial f}{\partial z} \frac {\partial z}{\partial t} = \nabla f \cdot \mathbf {r}' = 0 \cdots (16)$

 (16)의 결과에서, $\nabla f$와 $\mathbf {r}'$가 수직함을 얻었습니다. 즉, $\mathbf {r}'$이 만들어내는 Tangent plain의 normal vector는 $\nabla f$라는 결론이 도출되었습니다. [그림 2]^[각주:2]를 참고합시다.

[그림 2] Surface Normal Vector 로서의 Gradient

 예제를 풀어보도록 합시다.

 

 Ex) 3. $z^2 = 4(x^2 + y^2)$인 Surface의 점 $P:(1,0,2)$에서 Unit normal vector.

 주어진 식을 변형하여 Level이 0인 $f$를 만들어봅시다.

$f(x, y, z) = 4(x^2 + y^2) - z^2 = 0 \cdots (17)$

 (17)의 Gradient를 구해봅시다.

$\nabla f = [8x,8y,-2z] \cdots (18)$

 (18)에 주어진 조건 점 $P$를 대입합니다.

$\nabla f(P) = [8\cdot1,8\cdot0,-2\cdot2] = [8,0,-4] \cdots (19)$

 (19)를 $|\nabla f(P)|$로 나누어 Unit vector로 만들어줍시다. 이 벡터가 점 $P$에서 Unit normal vector가 됩니다. 이 벡터를 $\mathbf {n}$이라 하면

$\mathbf {n} = \frac {\nabla f(P)}{|\nabla f(P)|} = \frac {[8,0,-4]}{\sqrt {8^2 + (-4)^2}} = \left [\frac {2}{\sqrt {5}},0,-\frac {1}{\sqrt {5}}\right] \cdots (20)$

 

Sol) $\mathbf {n} = \left[\frac {2}{\sqrt {5}},0,-\frac {1}{\sqrt {5}}\right]$

 

 이번 포스팅은 여기서 마치겠습니다. 다음 포스팅에서 Divergence and Curl of a Vector Field에 대하여 작성할 예정입니다.

 

1. Erwin Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics 10th edition, pp.397 [본문으로]
2. 같은 책, pp.399. [본문으로]