34. 곡선의 접선, 곡선의 길이

34.1. Tangent to a Curve.

 다음과 같은 [그림 1]^[각주:1]을 생각해 봅시다.

[그림 1] 곡선의 접선

 곡선 경로 $C$를 따라 이동하는 점에 대하여 시간 $t$일 때 위치 벡터를 $\mathbf {r}(t)$이라 합시다. 이 때 점의 위치를 $P$라 합시다. $\Delta t$만큼의 시간이 지난 위치를 $Q$라 하면, $Q$의 위치 벡터는 $\mathbf {r}(t + \Delta t)$임을 알 수 있습니다. 두 위치 벡터의 변화량을 알기 위해 $L$의 기울기를 구해봅시다. 위치 벡터의 변화량 $\vec {PQ}$는 다음과 같습니다.

$\vec {PQ} = \mathbf {r}(t + \Delta) - \mathbf {r}(t) \cdots (1)$

 (1)에서 독립 변수인 시간 변화량을 나누게 되면 $L$의 기울기가 되겠습니다.

$\frac {1}{\Delta t}[\mathbf {r}(t + \Delta t) - \mathbf {r}(t)] \cdots (2)$

 미적분학에서 배웠듯이 (2)에서 시간 변화량이 0에 가까워 진다면 시간 $t$에서 접선의 기울기를 구할 수 있게 됩니다. 이는 $\mathbf {r}'(t)$와 같은 값이죠.

$\mathbf {r}'(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac {1}{\Delta t}[\mathbf {r}(t + \Delta t) - \mathbf {r}(t)]\cdots (3)$

 

 이제 접선의 방정식을 구해봅시다. 저번 포스팅에서 직선의 방정식을 구하기 위해서는 직선의 기울기와 직선 위의 한 점의 위치가 필요하다고 했습니다. 점 $P$에서 접선의 방정식을 $\mathbf {q}(w)$라 하고, 이를 구해봅시다.

 점 $P$의 위치는 위치 벡터 $\mathbf {r}$을 통해 구할 수 있습니다. 접선의 기울기는 (3)에서 구했듯이 $\mathbf {r}'(t)$임을 알고 있습니다. 따라서 $\mathbf {q}(w)$는 다음과 같습니다.

$\mathbf {q}(w) = \mathbf {r}(t) + w\mathbf {r}'(t)\cdots (4)$

 예제를 통해 접선의 방정식을 구해봅시다.

 

 Ex) 1. $\frac {x^2}{4} + y^2 = 1$인 타원에서 점 $P : (\sqrt {2},\frac {1}{\sqrt {2}})$에서 접선의 방정식.

 타원의 위치 벡터를 구해봅시다. 저번 포스팅을 참고하면 $\mathbf {r}(t)$는 다음과 같습니다.

$\mathbf {r}(t) = [2\cos {t},\sin {t}]\cdots (5)$

 접선의 방정식을 구하기 위해 (5)를 미분해봅시다.

$\mathbf {r}'(t) = [-2\sin {t},\cos {t}]\cdots (6)$

 점 $P$에서 접선의 기울기를 구하기 위해, (6)에 $P$값을 대입합시다. $t = \frac {\pi}{4}$일 때, $P$에 위치하므로 $t = \frac {\pi}{4}$를 (6)에 대입합니다.

$\mathbf {r}'(\frac {\pi}{4}) = [-\sqrt {2},\frac {1}{\sqrt {2}}]\cdots (7)$

 (4)를 통해 접선의 방정식을 구해봅시다.

$\mathbf {q}(w) = \mathbf {r}(t) + w\mathbf {r}'(t) = [\sqrt {2}, \frac {1}{\sqrt {2}}] + w [-\sqrt {2},\frac {1}{\sqrt {2}}] = [\sqrt {2} - \sqrt {2} w,\frac {1}{\sqrt {2}}+\frac {w}{\sqrt {2}}]\cdots (8)$

 

 Sol) $\mathbf {q}(w) = [\sqrt {2} - \sqrt {2}w,\frac {1}{\sqrt {2}}+\frac {w}{\sqrt {2}}]$

 

34.2. Length of a Curve.

 곡선의 길이를 구해봅시다. [그림 2]에서 보듯이 곡선을 구간을 쪼개고 그 구간에서 시간을 $t_k$라고 합시다.

[그림 2] 곡선의 구간

 $t_0$와 $t_1$사이의 길이를 $ds_0$라 하고, 이를 구해봅시다. $ds_0$는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

$ds_0 = \lim_{\Delta t \to 0}|\mathbf {r}(t_1)-\mathbf {r}(t_0)|=\lim_{\Delta t \to 0} \frac {|\mathbf {r}(t_1)-\mathbf {r}(t_0)|}{t_1-t_0}\cdot \Delta t \cdots (9)$

 미분계수의 정의에 의하여 (9)를 다음과 같이 고쳐 쓸 수 있습니다.

$ds_0 = |\mathbf {r}'(t)|dt \cdots (10)$

 $|\mathbf {r}'(t)| = \sqrt {\mathbf {r}'(t) \cdot \mathbf {r}'(t)}$로 쓸 수 있습니다. (10)에 대입한 뒤 시간 $t_0$부터 $t_n$까지 정적분을 하면, 곡선의 길이를 구하게 됩니다.

 $s = \int_{t_0}^{t_n} ds = \int_{t_0}^{t_n} \sqrt {\mathbf {r}'(t) \cdot \mathbf {r}'(t)} dt \cdots (11)$

 만일 임의의 시간 $t$까지의 길이를 구한다면 적분 구간을 바꾸어 다음과 같이도 쓸 수 있겠습니다.

 $s(t) = \int_{t_0}^{t} \sqrt {\mathbf {r}'(\tilde {t}) \cdot \mathbf {r}'(\tilde {t})} d\tilde {t} \cdots (12)$

 예제를 풀어봅시다.

 

Ex) 2. 원형 나선의 길이.

 원형 나선의 위치벡터를 매개변수를 통해 나타난 식을 저번 포스팅에서 알아냈습니다. 그 결과를 가져오면 다음과 같습니다.

 $\mathbf {r}(t) = [a\cos {t}, a\sin {t}, ct]\cdots(13)$

 (13)을 미분하여 $\mathbf {r}'(t)$를 구해봅시다.

 $\mathbf {r}'(t) = [-a\sin {t}, a\cos {t}, c]\cdots (14)$

 (12)에 대입하기 위해 $\sqrt {\mathbf {r}'(t) \cdot \mathbf {r}'(t)}$를 구합니다.

 $\sqrt {\mathbf {r}'(t) \cdot \mathbf {r}'(t)} = \sqrt {a^2(\cos^2 {t} + \sin^2 {t}) + c^2} = \sqrt {a^2 + c^2}\cdots (15)$

 (15)를 (12)에 대입합니다.

 $s(t) = \int_{0}^{t} \sqrt {a^2 + c^2} dt = \sqrt {a^2 + c^2} \int_0^t = \sqrt {a^2 + c^2} t \cdots (16)$

 

Sol) $s(t) = \sqrt {a^2 + c^2} t$

 

 (10)의 양변을 $dt$로 나누면 다음과 같습니다.

$\frac {ds}{dt} = |\mathbf {r}'(t)| \cdots (17)$

 (17)의 양변을 제곱해봅시다.

$(\frac {ds}{dt})^2 = |\mathbf {r}'(t)|^2 = (\frac {dx}{dt})^2 + (\frac {dy}{dt})^2 + (\frac {dz}{dt})^2 \cdots (18)$

 (18)에 $dt^2$을 곱하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있습니다.

$ds^2 = d\mathbf {r}\cdot d\mathbf {r} = dx^2 + dy^2 + dz^2 \cdots (19)$

 (19)에서 ds를 C의 Linear element라고 합니다.

 

 이번 포스팅은 여기까지 마치겠습니다. 다음 포스팅에서 Curves in Mechanics : Velocity, Acceleration. 에 대하여 작성할 예정입니다.

 

1. 이미지 출처 : Erwin Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics 10th edition, pp.384. [본문으로]