전체 글57 29. 고윳값 문제 적용 29.1. Stretching of an Elastic Membrane. $x_1x_2$-plain 위에 존재하는 탄성적인 원형 막 ${x_1}^2 + {x_2}^2 = 1$이 존재한다고 합시다. 이 원 위의 한 점 $P(x_1, y_1)$에서 $Q(y_1, y_2)$으로 다음과 같은 조건을 만족하면서 늘인다고 합시다. $\mathbf {y} = \begin {bmatrix} y_1\\y_2 \end {bmatrix} = \mathbf {Ax} = \begin {bmatrix} 5&3\\3&5 \end {bmatrix} \begin {bmatrix} x_1 \\x_2 \end {bmatrix};\quad \begin {cases} y_1 = 5x_1 + 3x_2\\y_2 = 3x_1 + 5x_2\end .. 2020. 5. 27. 28. 고윳값 문제 28.1. The Matrix Eigenvalue Problem. 다음과 같은 Vector equation을 생각해봅시다. $\mathbf {Ax} = \lambda\mathbf {x}\cdots(1)$ (1)과 같은 Equation을 Eigenvalue Equation이라고 합니다. 여기서 $\mathbf {A}$는 square matrix이고, $\lambda$는 미지 scalar, 그리고 $\mathbf {x}$는 미지 vector입니다. Eigenvalue problem는 (1)을 만족하는 $\lambda$와 $\mathbf {x}$의 값을 구하는 것이 목적입니다. $\mathbf {x} = 0$인 경우는 자명하므로, $\mathbf {x} \neq 0$인 경우를 생각하여 $\lambda$를 구합.. 2020. 5. 26. 27. 크래머(Cramer) 공식, 가우스-조던 소거법 (Gauss-Jordan Elimination) 27.1. Cramer's Rule. 변수와 방정식의 개수가 같은 다음과 같은 연립방정식이 있다고 합시다. $\begin {cases} a_{11} x_1+a_{12} x_2+\cdots+a_{1n} x_n = b_1\\a_{21} x_1 + a_{22} x_2 +\cdots+a_{2n} x_n = b_2\\\qquad\qquad\qquad\quad\vdots\\a_{n1} x_1 + a_{n2} x_2 + \cdots + a_{nn} x_n = b_n\end {cases}\cdots(1)$ (1)을 Matrix 형태로 바꾸면 다음과 같아집니다. $\begin {bmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots.. 2020. 5. 22. 26. 행렬식 26.1. Determinant. $2 \times 2$, $3 \times 3$ matrix의 Determinant는 다음과 같이 정의합니다. $D = \det {A} = \begin {vmatrix} a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end {vmatrix}=a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21}\cdots(1)$ $D = \det {A} = \begin {vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end {vmatrix} = a_{11} \begin {vmatrix} a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end {vmatrix} - a_{12}\begin {vmatri.. 2020. 5. 19. 25. 행렬의 계수(Rank) 25.1. Rank of a Matrix. Matrix에서 Rank란, 선형 독립인 row vector의 최댓값입니다. 먼저 다음과 같은 Matrix가 있다고 합시다. $\mathbf {A} = \begin {bmatrix} 1&2&2&2\\2&4&6&8\\3&6&8&10\end {bmatrix}\cdots(1)$ (1)을 Gauss Elimination 합니다. 그러면 다음과 같은 Matrix가 됩니다. $\begin {bmatrix} {\color {Red}1}&{\color {Blue}2}&{\color {Red}2}&{\color {Blue}2}\\{\color {Red}0}&{\color {Blue}0}&{\color {Red}2}&{\color {Blue}4}\\{\color {Red}0}&{.. 2020. 5. 18. 24. 벡터 공간(Vector Space) 24.1. Vector Space. Vector space는 다음을 만족해야 합니다. 1) Vector 들의 모임. 2) Vector $\vec {\mathbf {v}}$, $\vec {\mathbf {w}}$ 가 존재할 때, $\vec {\mathbf {v}}+\vec {\mathbf {w}}$와 $c\vec {\mathbf {v}}$가 같은 공간이어야 합니다. 3) Vector $\vec{\mathbf{v}}$, $\vec {\mathbf {w}}$ 가 존재할 때, 두 Vector의 선형 결합 $c_1\vec {\mathbf {v}} + c_2\vec {\mathbf {w}}$가 같은 공간이어야 합니다. 몇 가지 예를 들어 주어진 Space가 Vector Space 인지 판단해 봅시다. Ex) 1. .. 2020. 5. 17. 23. 연립 일차 방정식과 가우스 소거법 23.1. Linear Systems of Equations. 다음 연립방정식이 있다고 합시다. $\begin {cases} a_{11} x_1 + \cdots + a_{1n} x_n = b_1 \\ a_{21} x_1 + \cdots + a_{2n} x_n = b_2 \\ \cdots \\ a_{m1} x_1 + \cdots + a_{mn} x_n = b_m \end {cases}$ (1) 이제 이 연립방정식을 matrix를 이용하여 $\mathbf{Ax} = \mathbf {b}$와 같이 나타내 봅시다. $\mathbf {A} = [a_{ij}] = \begin {bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2.. 2020. 5. 15. 22. 행렬 곱셈, 선형 변환, 전치 행렬 앞선 포스팅에서 Matrix의 합과 Scalar multiplication에 대하여 알아보았습니다. 이번에는 다른 연산인 Matrix의 곱에 대하여 알아보겠습니다. 22.1. Matrix Multiplication. 크기가 $m \times n$인 Matrix $\mathbf{A} = [a_{jk}]$와 크기가 $r \times p$인 Matrix $\mathbf {B} = [b_{jk}]$가 있다고 합시다. 그리고 두 Matrix의 곱을 $\mathbf {AB} = \mathbf {C}$라 합시다. 이때 $\mathbf {C}$가 존재하기 위해서는, $n = r$이어야 합니다. 즉 $\mathbf {A}$의 column과 $\mathbf {B}$의 row의 수가 같아야 Matrix의 곱 $\mathbf.. 2020. 5. 10. 21. 선형 대수학 : 행렬, 벡터 길고 길었던 상미분 방정식 파트를 끝냈습니다. 이제 Linear algebra, 즉 선형 대수학에 대해 작성할 차례입니다. 먼저 기본이 되는 Matrix(행렬), Vector(벡터)에 대하여 알아봅시다. 21.1. Matrices, Vectors. 21.1.1. Matrices. Matrix란 괄호 안에 싸여서 수나 함수들로 이루어진 직사각형 집합체를 말합니다. Matrix를 표현하는 괄호로 대괄호를 사용하여 나타내겠습니다. 예를 들면 다음과 같은 형태를 Matrix라고 할 수 있겠습니다. $\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end {bmatrix}$ (1) $\b.. 2020. 5. 7. 이전 1 2 3 4 5 6 7 다음
