전체 글57 11. 비제차 상미분방정식 - 미정계수법 Second-order ODE의 기본 형태는 다음과 같음을 알고 있습니다. $y'' + p(x) y' + g(x) y = r(x)$ (1) (1)에서 $r(x) = 0$이면 homogeneous ODE임을 알고 있습니다. 그렇다면 $r(x) \neq 0$라면 Nonhomogeneous ODE겠죠? Nonhomogeneous ODE의 Solution $y$는 다음과 같이 나타냅니다. $y(x) = y_{h}(x) + y_{p}(x)$ (2) (2)에서 $y_{h}$는 homogeneous ODE의 General solution이고, $y_{p}$는 Particular solution이라 합니다. 새로 추가된 항 $y_{p}$가 있는 만큼, Nonhomogeneous ODE의 solution은 $y_{p}$.. 2020. 4. 21. 10. 론스키안(Wronskian) Wronskian이란 Homogeneous linear ODE $y'' + p(x) y' + q(x) y = 0$의 두 solution $y_{1}$, $y_{2}$가 서로 Linearly dependent 한 지, Linearly independent 한지 구분할 수 있는 도구입니다. 먼저 정리부터 보여드리고 증명을 진행하겠습니다. Theorem) 1. ODE $y'' + p(x)y' + q(x) y = 0$의 열린 구간 $I$의 두 solution $y_{1}$, $y_{2}$가 Wronskian $W(y_{1}, y_{2}) = y_{1} y_{2}' - y_{2} y_{1}'$ (1) 의 값이 $I$에 임의의 $x = x_{0}$에서 0일 때 $y_{1}$, $y_{2}$는 $I$에서 Linear.. 2020. 4. 20. 9. 오일러-코시 방정식(Euler-Cauchy Equation) 다음과 같은 형태의 방정식을 Euler-Cauchy equation이라 합니다. $x^2y'' + axy' + by = 0$ (1) Solution을 $y = x^m$이라 합시다. 차례대로 미분하면 $y' = mx^{m-1}$ (2a), $y'' = m(m-1) x^{m-2}$ (2b) (2a), (2b)를 (1)에 대입하면 다음과 같습니다. $x^2m(m-1)x^{m-2} + axmx^{m-1} + bx^m = 0$ (3) (3)식을 정리하면 $(m^2 + (a-1)m +b) x^m = 0$ (4) (4)에서 Characteristic equation을 얻을 수 있습니다. $m^2 + (a-1)m + b = 0$ (5) 근의 공식을 이용하여 (5)의 근을 구해 봅시다. $m_{1,2} = \frac {.. 2020. 4. 17. 8. 상수 계수를 갖는 제차 선형 상미분방정식 다음과 같은 Homogeneous linear ODE가 있다고 합시다. $a$, $b$는 임의의 상수입니다. $y'' + ay' + by = 0$ (1) 앞서 우리는 First order ODE의 상수 계수를 가질 때 solution을 다음과 같음을 알고 있습니다. $y' + ky = 0$, $y = ce^{-kx}$ 이를 Second order로도 적용해 봅시다. solution을 다음과 같다고 합시다. $y = e^{\lambda x}$ (2) 미분을 차례대로 해봅시다. $y' = \lambda e^{\lambda x}$ (3) $y'' = \lambda^2 e^{\lambda x}$ (4) (2), (3), (4)를 (1)에 대입하여 식을 정리합시다. $(\lambda^2 + a\lambda + b.. 2020. 4. 16. 7. 2계 선형 상미분방정식 7.1. Homogeneous Linear ODEs of Second Order Second order linear ODE란 다음과 같은 형태를 가진 미분방정식을 말합니다. $y'' + p(x) y' + q(x) y = r(x)$ (1) 여기서 $r(x) = 0$이면 homogeneous, $r(x) \neq 0$이면 non-homogeneous임을 알고 있습니다. homogeneous linear ODE에 대해 먼저 살펴보겠습니다. 식을 다시 써봅시다. $y'' + p(x)y' + q(x) y = 0$ (2) Second order ODE이기 때문에 solution은 두 가지가 나온다는 것을 알고 있습니다. 각각의 solution을 $y_{1}$,$y_{2}$라고 합시다. 이 미분방정식의 General.. 2020. 4. 16. 6. 베르누이 미분방정식 Bernoulli equation은 다음과 같은 형태의 non-linear first order ODE입니다. $y' + p(x) y = g(x) y^a$ (1) 지금까지 학습한 방법으로는 풀기 어려워 보입니다. 하지만 치환을 이용하여 식을 적절히 변형하면 (1)을 linear ODE 바꿀 수 있습니다. 먼저 $u = y^{1-a}$라 합시다. 양변을 $y$에 대하여 미분하면 다음과 같습니다. $u' = (1-a)y^{-a}y'$ (2) (1)에서 $y' = gy^a-py$를 얻을 수 있습니다. 이 식을 (2)에 대입합시다. $u' = (1-a)y^{-a}(gy^a-py)$ (3) 괄호를 풀어 식을 정리해봅시다. $u' = (1-a)(g-py^{1-a}) = (1-a)(g-pu) = (1-a) g - p.. 2020. 4. 14. 5. 1계 선형 상미분방정식 First-Order linear ODE란 다음과 같은 형태의 미분방정식을 말합니다. $y' + p(x) y = r(x)$ (1) 이때 $p, r$은 $x$에 대한 함수입니다. 가장 높은 차수의 미분항이 일계도함수이기 때문에 First-order이고, 종속 변수 $y$의 계수가 모두 $x$에 대한 함수로 이루어져 있기 때문에 주어진 미분방정식은 linear 합니다. 따라서 First-order linear ODE임을 알 수 있습니다. 5.1. homogeneous linear ODE (1)에서 $r(x) = 0$인 ODE를 homogeneous linear ODE라고 합니다. 미분방정식을 다시 쓰면 $y' + p(x)y = 0$ (2) 가 됩니다. 변수분리로 풀면 어렵지 않게 풀 수 있겠네요. Gener.. 2020. 4. 14. 4. 적분 인자 4.Integrating Factors. $M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0$에서 exact 할 조건인 $\frac {\partial M}{\partial y} = \frac {\partial N}{\partial x}$를 항상 만족하는 것은 아닙니다. 하지만 이전 포스트의 방법으로 풀기 위해서는 먼저 exact 하다는 조건을 만족해야 했습니다. 만일 exact하지 않은 경우인 $\frac {\partial P}{\partial y} \neq \frac {\partial Q}{\partial x}$인 $P(x, y)$, $Q(x, y)$가 있다고 합시다. $P$,$Q$로 이루어진 미분방정식 $P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0$은 exact하지 않기 때문에 이전 포스트의 방법으로는.. 2020. 4. 10. 3. 완전 상미분방정식 3. Exact ODEs. 두 개의 독립 변수 $x, y$로 이루어진 미지 함수 $u(x, y)$가 있다고 합시다. 이 함수 $u$가 연속이고 각 독립 변수에 대해 연속인 편도함수가 존재하면, $u$의 미분(전미분)은 다음과 같습니다. $du = \frac {\partial u}{\partial x}dx + \frac {\partial u}{\partial y}dy$ (1) 잠시 First-order ODE인 다음 미분방정식이 있다고 합시다. $M(x, y) + N(x, y)y' = 0$ (2) 이를 다시 정리하면 $M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0$ (3) (3)과 같은 형태의 미분방정식을 Exact differential eqation(완전미분방정식)이라 합니다. 여기서 $\frac {\.. 2020. 4. 10. 이전 1 ··· 3 4 5 6 7 다음