전공 정리55 39. 적분 경로의 독립 39.1. Path Dependence. 선적분은 구간의 시점과 종점뿐만 아니라, 적분 경로에 따라서도 적분 결과가 달라집니다. 다음 예시를 풀어 보면서 확인해봅시다. Ex) 1. 시점과 종점이 같지만 적분 경로가 다른 두 선적분의 결과를 비교해 봅시다. [그림 1]의 $C_1$은 $\mathbf {r}_1(t) = [t, t,0]$을 따르고, $C_2$는 $\mathbf {r}_2(t) = [t, t^2,0]$이고, 두 경로 모두 구간 $0 \leq t \leq 1$입니다. $\mathbf {F} = [0, xy,0]$의 각 경로에 따른 선적분을 비교해 봅시다. $C_1$의 선적분을 먼저 구해봅시다. $\mathbf {r}_1$을 $\mathbf {F}$에 대입해봅시다. $\mathbf {F}(\mat.. 2020. 6. 19. 38. 선적분 다음과 같은 형태의 적분 계산을 주로 했었습니다. $\int_{a}^{b} f(x) dx \cdots(1)$ (1)의 적분은 $f(x)$을 직교 좌표계의 $x$축을 따라 $x = a$부터 $x =b$까지의 적분입니다. Line integral(선적분)은 여기서 적분 함수가 벡터 함수가 되고, 적분 변수는 공간이나 평면 위 곡선의 위치 벡터인 적분입니다. 벡터 함수를 $\mathbf {F(r)}$이라 하고, 적분 구간 곡선을 $C$라 하고 곡선의 위치 벡터를 $\mathbf {r}$이라 하면 선적분을 다음처럼 쓸 수 있습니다. $\int_{C} \mathbf {F(r)}\cdot d\mathbf {r} \cdots (2)$ $C$를 적분 경로라고도 부릅니다. [그림 1]을 참고해 봅시다. [그림 1]의 (.. 2020. 6. 17. 37. 벡터장의 회전(Curl)과 발산(Divergence) 37.1. Divergence of a Vector Field. Gradient는 Scalar field에서 Vector field를 얻어냈습니다. 그 반대로 Divergence(발산)는 Vector field를 Scalar field로 바꾸는 도구입니다. $xyz$-직교 좌표계에서 미분 가능한 벡터 함수 $\mathbf {v}(x, y, z) = [v_1, v_2, v_3]$가 존재한다 합시다. $\mathbf {v}$의 Divergence는 다음과 같이 정의됩니다. $\mathrm {div}\ \mathbf {v} = \frac {\partial v_1}{\partial x} + \frac {\partial v_2}{\partial y} + \frac {\partial v_3}{\partial z} .. 2020. 6. 13. 36. 스칼라장의 그래디언트 36.1. Gradient. Gradient는 Scalar field로부터 Vector field를 얻을 수 있게 하는 도구입니다. 스칼라 함수 $f(x, y, z)$가 주어지고 $f$가 3차원 공간 $xyz$-직교 좌표계에서 미분 가능하다고 합시다. 이 함수 $f$의 Gradient를 $\mathrm {grad}\ f$ 또는 $\nabla f$로 표기하도록 약속합시다. 그렇다면 $\nabla f$는 다음과 같이 정의됩니다. $\nabla f = \left[ \frac {\partial f}{\partial x}, \frac {\partial f}{\partial y},\frac {\partial f}{\partial z}\right] = \frac {\partial f}{\partial x}\mathb.. 2020. 6. 12. 이전 1 2 3 4 5 6 7 8 ··· 14 다음
