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전공 정리/공업수학

38. 선적분

by 꼬긔 2020. 6. 17.

 

 다음과 같은 형태의 적분 계산을 주로 했었습니다.

baf(x)dx(1)

 (1)의 적분은 f(x)을 직교 좌표계의 x축을 따라 x=a부터 x=b까지의 적분입니다. Line integral(선적분)은 여기서 적분 함수가 벡터 함수가 되고, 적분 변수는 공간이나 평면 위 곡선의 위치 벡터인 적분입니다. 벡터 함수를 F(r)이라 하고, 적분 구간 곡선을 C라 하고 곡선의 위치 벡터를 r이라 하면 선적분을 다음처럼 쓸 수 있습니다.

CF(r)dr(2)

 C를 적분 경로라고도 부릅니다. [그림 1][각주:1]을 참고해 봅시다.

[그림 1] 적분 경로 C의 형태

 [그림 1]의 (a)는 곡선 CA에서 B로 향합니다. 각 점의 위치벡터를 A:r(a), B:r(b)라 합시다. 매개 변수 t를 이용하여 위치 벡터를 나타낼 수 있었습니다. 이 경우에 t의 구간은 atb가 되고, 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

 r(t)=[x(t),y(t),z(t)](atb)(3)

 [그림 1] (a)의 t가 증가할수록 C위의 점은 시점 A에서 종점 B를 향해 움직일 것입니다. 이는 방향이 있음을 의미하고 방향은 화살표로 표시한 것과 같습니다.

 만일 [그림 1] (b)처럼 AB가 같은 점일 경우, 곡선 C를 폐곡선이라고 합니다.

 (2)를 계산하기 쉬운 형태로 바꾸어봅시다. (3)의 매개 변수를 이용하면 (2)를 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

CF(r)dr=baF(r(t)) drdtdt=baF(r(t))r(t)dt(4)

 (4)는 매개 변수 t에 대한 적분을 수행하게 되므로, (2)의 계산을 (1)과 같이 할 수 있게 되었습니다.

 F(r)=[F1,F2,F3], dr=[dx,dy,dz]이라 하면, 성분끼리의 계산으로 다음과 같이 나타낼 수도 있습니다.

CF(r)dr=C(F1dx+F2dy+F3dz)(5)

 (5)를 다시 매개 변수 t를 이용해 나타내 봅시다.

C(F1dx+F2dy+F3dz)=ba(F1dxdt+F2dydt+F3dzdt)dt(6)

 만일 적분 경로가 폐곡선이라면, 적분 기호를 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

C=C(7)

 예제를 풀어봅시다.

 

 Ex. 1) F(r)=[y,xy], C는 [그림 2][각주:2]로 주어졌을 때 선적분.

[그림 2] 예제 1의 적분 경로

 먼저 주어진 적분 경로를 매개 변수 t를 이용해 나타냅시다. 반지름이 1인 사분원이므로, 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

r(t)=[cost,sint]        (0tπ2)(8)

 (8)을 문제에서 주어진 F(r)에 대입합니다.

F(r(t))=[y,xy]=[sint,costsint](9)

 (8)의 양변을 t에 대하여 미분합니다.

r(t)=[sint,cost](10)

 (9)와 (10)을 (4)에 대입합니다.

π20[sint,costsint][sint,cost]dt=π20(sin2tcos2tsint)dt(11)

 (11)을 적분하기 쉬운 형태로 바꾸기 위해 삼각 함수 공식 sin2t=1cos(2t)2과 치환 적분법을 이용합시다. cost=u로 치환하면 sintdt=du이고 적분 구간은 t=0일 때 u=1, t=π2일 때 u=1이 됩니다.

π20(sin2tcos2tsint)dt=π201cos(2t)2dt01u2(du)=(t2sin(2t)4)|π20(u33)|10=(π40)(130)=π413(12)

 

Sol) CF(r)dr=π413

 

 선적분은 다음 세가지 성질을 만족합니다.

(1) CkFdr=kCFdr      (k는 상수)

(2) C(F+G)dr=CFdr+CGdr

(3) CFdr=C1Fdr+C2Fdr

 (3)은 [그림 3][각주:3]을 참고합시다. 적분 경로 CC1, C2로 나누어 적분한 뒤 더하여도 같은 값을 구할 수 있습니다.

[그림 3] 적분 경로 나누기

 이번 포스팅은 여기서 마치겠습니다. 다음 포스팅에서 Path Independence에 대하여 다룰 예정입니다.

  1. Erwin Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics 10th edition, pp.414. [본문으로]
  2. 같은 책, pp. 415. [본문으로]
  3. 같은 책, pp.416 [본문으로]

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