38. 선적분

 

 다음과 같은 형태의 적분 계산을 주로 했었습니다.

$\int_{a}^{b} f(x) dx \cdots(1)$

 (1)의 적분은 $f(x)$을 직교 좌표계의 $x$축을 따라 $x = a$부터 $x =b$까지의 적분입니다. Line integral(선적분)은 여기서 적분 함수가 벡터 함수가 되고, 적분 변수는 공간이나 평면 위 곡선의 위치 벡터인 적분입니다. 벡터 함수를 $\mathbf {F(r)}$이라 하고, 적분 구간 곡선을 $C$라 하고 곡선의 위치 벡터를 $\mathbf {r}$이라 하면 선적분을 다음처럼 쓸 수 있습니다.

$\int_{C} \mathbf {F(r)}\cdot d\mathbf {r} \cdots (2)$

 $C$를 적분 경로라고도 부릅니다. [그림 1]^[각주:1]을 참고해 봅시다.

[그림 1] 적분 경로 C의 형태

 [그림 1]의 (a)는 곡선 $C$가 $A$에서 $B$로 향합니다. 각 점의 위치벡터를 $A : \mathbf {r}(a)$, $B : \mathbf {r}(b)$라 합시다. 매개 변수 $t$를 이용하여 위치 벡터를 나타낼 수 있었습니다. 이 경우에 $t$의 구간은 $a \leq t \leq b$가 되고, 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

 $\mathbf {r}(t) = [x(t),y(t),z(t)] \qquad (a \leq t \leq b)\cdots (3)$

 [그림 1] (a)의 $t$가 증가할수록 $C$위의 점은 시점 $A$에서 종점 $B$를 향해 움직일 것입니다. 이는 방향이 있음을 의미하고 방향은 화살표로 표시한 것과 같습니다.

 만일 [그림 1] (b)처럼 $A$와 $B$가 같은 점일 경우, 곡선 $C$를 폐곡선이라고 합니다.

 (2)를 계산하기 쉬운 형태로 바꾸어봅시다. (3)의 매개 변수를 이용하면 (2)를 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

$\int_{C} \mathbf {F(r)}\cdot d\mathbf {r} = \int_{a}^{b} \mathbf {F(r}(t))\cdot\ \frac {d\mathbf {r}}{dt}dt = \int_{a}^{b} \mathbf {F(r}(t))\cdot \mathbf {r}'(t) dt\cdots (4)$

 (4)는 매개 변수 $t$에 대한 적분을 수행하게 되므로, (2)의 계산을 (1)과 같이 할 수 있게 되었습니다.

 $\mathbf {F(r)} = [F_1,F_2,F_3]$, $d\mathbf {r} = [dx, dy, dz]$이라 하면, 성분끼리의 계산으로 다음과 같이 나타낼 수도 있습니다.

$\int_{C}\mathbf {F(r)}\cdot d\mathbf {r} = \int_{C}(F_1dx + F_2dy + F_3dz) \cdots (5)$

 (5)를 다시 매개 변수 $t$를 이용해 나타내 봅시다.

$\int_{C}(F_1dx + F_2dy + F_3dz) = \int_{a}^{b} (F_1 \frac {dx}{dt} + F_2 \frac {dy}{dt} + F_3 \frac {dz}{dt})dt \cdots (6)$

 만일 적분 경로가 폐곡선이라면, 적분 기호를 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

$\int_{C} = \oint_{C}\cdots (7)$

 예제를 풀어봅시다.

 

 Ex. 1) $\mathbf {F(r)} = [-y,-xy]$, C는 [그림 2]^[각주:2]로 주어졌을 때 선적분.

[그림 2] 예제 1의 적분 경로

 먼저 주어진 적분 경로를 매개 변수 $t$를 이용해 나타냅시다. 반지름이 1인 사분원이므로, 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

$\mathbf {r}(t) = [\cos t, \sin t]$        $(0 \leq t \leq \frac {\pi}{2})\cdots (8)$

 (8)을 문제에서 주어진 $\mathbf {F(r)}$에 대입합니다.

$\mathbf {F(r}(t)) = [-y,-xy] = [-\sin t, -\cos t \sin t] \cdots (9)$

 (8)의 양변을 $t$에 대하여 미분합니다.

$\mathbf {r}'(t) = [-\sin t, \cos t] \cdots (10)$

 (9)와 (10)을 (4)에 대입합니다.

$\int_{0}^{\frac {\pi}{2}} [-\sin t, -\cos t \sin t]\cdot[-\sin t, \cos t] dt = \int_{0}^{\frac {\pi}{2}} (\sin^2 t - \cos^2 t \sin t) dt \cdots (11)$

 (11)을 적분하기 쉬운 형태로 바꾸기 위해 삼각 함수 공식 $\sin^2 t = \frac {1 - \cos (2t)}{2}$과 치환 적분법을 이용합시다. $\cos t = u$로 치환하면 $-\sin t dt = du$이고 적분 구간은 $t=0$일 때 $u = 1$, $t = \frac {\pi}{2}$일 때 $u = 1$이 됩니다.

$\begin {matrix} \int_{0}^{\frac {\pi}{2}} (\sin^2 t - \cos^2 t \sin t)dt &=& \int_{0}^{\frac {\pi}{2}} \frac {1 - \cos (2t)}{2} dt - \int_{1}^{0} u^2(-du) \\&=&  \left( \frac {t}{2} - \frac {\sin (2t)}{4} \right) |_{0}^{\frac {\pi}{2}} - \left(\frac {u^3}{3}\right)|_{0}^{1}  \\ &=& \left( \frac {\pi}{4} - 0 \right) - \left( \frac {1}{3} - 0 \right) \\&=& \frac {\pi}{4} - \frac {1}{3} \end {matrix}\cdots (12)$

 

Sol) $\int_{C} \mathbf {F(r)}\cdot d\mathbf {r} = \frac {\pi}{4} - \frac {1}{3}$

 

 선적분은 다음 세가지 성질을 만족합니다.

(1) $\int_{C}k\mathbf {F}\cdot d\mathbf {r} = k \int_{C}\mathbf {F}\cdot d\mathbf {r}$      ($k$는 상수)

(2) $\int_{C}(\mathbf {F+G})\cdot d\mathbf {r} = \int_{C}\mathbf {F}\cdot d\mathbf {r} + \int_{C}\mathbf {G} \cdot d\mathbf {r} $

(3) $\int_{C}\mathbf {F}\cdot d\mathbf {r} = \int_{C_1}\mathbf {F}\cdot d\mathbf {r} + \int_{C_2}\mathbf {F}\cdot d\mathbf {r}$

 (3)은 [그림 3]^[각주:3]을 참고합시다. 적분 경로 $C$를 $C_1$, $C_2$로 나누어 적분한 뒤 더하여도 같은 값을 구할 수 있습니다.

[그림 3] 적분 경로 나누기

 이번 포스팅은 여기서 마치겠습니다. 다음 포스팅에서 Path Independence에 대하여 다룰 예정입니다.

1. Erwin Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics 10th edition, pp.414. [본문으로]
2. 같은 책, pp. 415. [본문으로]
3. 같은 책, pp.416 [본문으로]