다음과 같은 형태의 적분 계산을 주로 했었습니다.
∫baf(x)dx⋯(1)
(1)의 적분은 f(x)을 직교 좌표계의 x축을 따라 x=a부터 x=b까지의 적분입니다. Line integral(선적분)은 여기서 적분 함수가 벡터 함수가 되고, 적분 변수는 공간이나 평면 위 곡선의 위치 벡터인 적분입니다. 벡터 함수를 F(r)이라 하고, 적분 구간 곡선을 C라 하고 곡선의 위치 벡터를 r이라 하면 선적분을 다음처럼 쓸 수 있습니다.
∫CF(r)⋅dr⋯(2)
C를 적분 경로라고도 부릅니다. [그림 1]을 참고해 봅시다. 1

[그림 1]의 (a)는 곡선 C가 A에서 B로 향합니다. 각 점의 위치벡터를 A:r(a), B:r(b)라 합시다. 매개 변수 t를 이용하여 위치 벡터를 나타낼 수 있었습니다. 이 경우에 t의 구간은 a≤t≤b가 되고, 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
r(t)=[x(t),y(t),z(t)](a≤t≤b)⋯(3)
[그림 1] (a)의 t가 증가할수록 C위의 점은 시점 A에서 종점 B를 향해 움직일 것입니다. 이는 방향이 있음을 의미하고 방향은 화살표로 표시한 것과 같습니다.
만일 [그림 1] (b)처럼 A와 B가 같은 점일 경우, 곡선 C를 폐곡선이라고 합니다.
(2)를 계산하기 쉬운 형태로 바꾸어봅시다. (3)의 매개 변수를 이용하면 (2)를 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
∫CF(r)⋅dr=∫baF(r(t))⋅ drdtdt=∫baF(r(t))⋅r′(t)dt⋯(4)
(4)는 매개 변수 t에 대한 적분을 수행하게 되므로, (2)의 계산을 (1)과 같이 할 수 있게 되었습니다.
F(r)=[F1,F2,F3], dr=[dx,dy,dz]이라 하면, 성분끼리의 계산으로 다음과 같이 나타낼 수도 있습니다.
∫CF(r)⋅dr=∫C(F1dx+F2dy+F3dz)⋯(5)
(5)를 다시 매개 변수 t를 이용해 나타내 봅시다.
∫C(F1dx+F2dy+F3dz)=∫ba(F1dxdt+F2dydt+F3dzdt)dt⋯(6)
만일 적분 경로가 폐곡선이라면, 적분 기호를 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
∫C=∮C⋯(7)
예제를 풀어봅시다.
Ex. 1) F(r)=[−y,−xy], C는 [그림 2]로 주어졌을 때 선적분. 2

먼저 주어진 적분 경로를 매개 변수 t를 이용해 나타냅시다. 반지름이 1인 사분원이므로, 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
r(t)=[cost,sint] (0≤t≤π2)⋯(8)
(8)을 문제에서 주어진 F(r)에 대입합니다.
F(r(t))=[−y,−xy]=[−sint,−costsint]⋯(9)
(8)의 양변을 t에 대하여 미분합니다.
r′(t)=[−sint,cost]⋯(10)
(9)와 (10)을 (4)에 대입합니다.
∫π20[−sint,−costsint]⋅[−sint,cost]dt=∫π20(sin2t−cos2tsint)dt⋯(11)
(11)을 적분하기 쉬운 형태로 바꾸기 위해 삼각 함수 공식 sin2t=1−cos(2t)2과 치환 적분법을 이용합시다. cost=u로 치환하면 −sintdt=du이고 적분 구간은 t=0일 때 u=1, t=π2일 때 u=1이 됩니다.
∫π20(sin2t−cos2tsint)dt=∫π201−cos(2t)2dt−∫01u2(−du)=(t2−sin(2t)4)|π20−(u33)|10=(π4−0)−(13−0)=π4−13⋯(12)
Sol) ∫CF(r)⋅dr=π4−13
선적분은 다음 세가지 성질을 만족합니다.
(1) ∫CkF⋅dr=k∫CF⋅dr (k는 상수)
(2) ∫C(F+G)⋅dr=∫CF⋅dr+∫CG⋅dr
(3) ∫CF⋅dr=∫C1F⋅dr+∫C2F⋅dr
(3)은 [그림 3]을 참고합시다. 적분 경로 3C를 C1, C2로 나누어 적분한 뒤 더하여도 같은 값을 구할 수 있습니다.

이번 포스팅은 여기서 마치겠습니다. 다음 포스팅에서 Path Independence에 대하여 다룰 예정입니다.
'전공 정리 > 공업수학' 카테고리의 다른 글
40. 그린(Green) 정리 (0) | 2020.06.22 |
---|---|
39. 적분 경로의 독립 (0) | 2020.06.19 |
37. 벡터장의 회전(Curl)과 발산(Divergence) (0) | 2020.06.13 |
36. 스칼라장의 그래디언트 (0) | 2020.06.12 |
35. 역학의 곡선 : 속도, 가속도 (0) | 2020.06.09 |
댓글