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전공 정리55

43. 스토크스(Stokes) 정리 43.1. Stokes' Theorem. 선적분과 이중적분을 바꾸어주는 도구가 Green 정리였고, 면적분과 삼중적분을 바꾸어 주는 도구가 발산 정리였습니다. Stokes 정리는 선적분과 면적분을 서로 바꾸어주는 도구입니다. 곡면 $S$가 공간에 존재하고 $S$의 경계 곡선을 $C$라고 합시다. $S$에서 연속인 벡터 함수 $\mathbf {F}$가 존재하고 $\mathbf {F}$의 편도함수도 연속 함수라고 하면 Stokes 정리는 다음과 같습니다. $\int \int_{S} (\nabla \times \mathbf {F}) \cdot \mathbf {n} dA = \oint_{C} \mathbf {F} \cdot \mathbf {r}'(s) ds \cdots (1)$ (1)의 $\mathbf {n}$.. 2020. 6. 26.
42. 가우스의 발산 정리 가우스의 발산 정리는 삼중적분을 면적분으로 바꾸어주는 도구입니다. 삼차원 공간에 닫혀 있는 공간 $T$가 존재하고, $T$의 경계 곡면을 $S$라 합시다. 벡터 함수 $\mathbf {F}$가 주어지고 $T$에서 $\mathbf {F}$가 연속이고 연속인 편도함수가 존재하면, 다음 식을 발산 정리라고 합니다. $\int\!\int\!\int_{T} \nabla \cdot \mathbf {F} dV = \int \int_{S} \mathbf {F} \cdot \mathbf {n} dA \cdots (1)$ 성분으로 나타내 봅시다. $\mathbf {F} = [F_1,F_2,F_3]$, $\mathbf {n} = [\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma]$라 합시다. 이때 $\al.. 2020. 6. 23.
41. 면적분 41.1. Surface Integral. 곡선을 매개변수로 나타내는데 필요한 변수의 개수는 1개였습니다. 그렇다면 곡면을 매개변수로 나타내는데 필요한 변수의 개수는 2개임을 추론할 수 있습니다. [그림 1]을 참고하면 쉽게 이해할 수 있습니다. 곡면 매개 변수가 두 개이기 때문에 두 매개변수가 만들어내는 영역 $R$이 존재합니다. 매개 변수로 표현한 곡면의 위치 벡터가 다음과 같다고 합시다. $\mathbf {r}(u, v) = [x(u, v), y(u, v), z(u, v)] = x(u, v)\mathbf {i} + y(u, v)\mathbf {j} + z(u, v)\mathbf {k} \cdots (1)$ 곡면 위의 모든 점에서 접평면이 존재하고, 그 접평면의 법선 벡터는 이전 포스팅 Gradien.. 2020. 6. 22.
40. 그린(Green) 정리 40.1. Green's Theorem in the Plain. Green 정리는 선적분과 이중적분간을 변환시켜주는 도구입니다. $xy$평면 위에 폐곡선 $C$가 존재하고 $C$가 이루는 닫힌 면을 $R$이라고 합시다. $F_1(x, y)$, $F_2(x, y)$가 연속 함수이고 $R$ 내에 연속인 편도함수 $\frac {\partial F_1}{\partial y}$, $\frac {\partial F_2}{\partial x}$가 존재한다고 합시다. Green 정리는 다음과 같습니다. $\int \int_{R} \left( \frac {\partial F_2}{\partial x} - \frac {\partial F_1}{\partial y} \right) dxdy = \oint_{C}(F_1dx +.. 2020. 6. 22.

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