21. 선형 대수학 : 행렬, 벡터

 길고 길었던 상미분 방정식 파트를 끝냈습니다. 이제 Linear algebra, 즉 선형 대수학에 대해 작성할 차례입니다. 먼저 기본이 되는 Matrix(행렬), Vector(벡터)에 대하여 알아봅시다.

 

 

 21.1. Matrices, Vectors.

  21.1.1. Matrices.

 Matrix란 괄호 안에 싸여서 수나 함수들로 이루어진 직사각형 집합체를 말합니다. Matrix를 표현하는 괄호로 대괄호를 사용하여 나타내겠습니다. 예를 들면 다음과 같은 형태를 Matrix라고 할 수 있겠습니다.

 $\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end {bmatrix}$     (1)

$\begin{bmatrix} 0.4 & 5 & -3 \\ 0 & 7 & 11 \end {bmatrix}$      (2)

$\begin {bmatrix} 4 \\ \frac {1}{2}\end {bmatrix}$     (3)

$\begin {bmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \end {bmatrix}$     (4)

Matrix의 가로줄은 row(행), 세로줄은 column(열)이라고 합니다. (1)의 경우 3개의 row, column을 가졌고, (3)의 Matrix의 경우 2개의 row, 1개의 column을 가졌습니다.

 

  21.1.2. Vectors, Size of Matrices.

 Matrix 중에서, 1개의 row나 column을 가진 Matrix의 경우 Vector라고 부릅니다. 1개의 row를 가진 Vector는 row vector라 하고, 1개의 column을 가진 vector는 column vector라고 합니다. 주어진 예시에서 (3)이 column vector이고, (4)를 row vector라고 할 수 있겠네요. row가 $m$개이고, column이 $n$개인 matrix를 $m \times n$ matrix라고 합니다. 읽을 때는 "m by n matrix"라고 읽으시면 됩니다.

 

  21.1.3. Linear System.

 다음과 같은 연립 방정식을 제시합니다.

$\begin{cases} 4x_1 + 6x_2 + 9x_3 = 6 \\ 6x_1 \qquad\;\; -2x_3 = 20 \\ 5x_1 -8x_2 + x_3 = 10\end {cases}$     (5)

 (5)를 Matrix를 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

$\begin{bmatrix} 4 & 6 & 9 \\ 6 & 0 & -2 \\ 5 & -8 & 1\end {bmatrix}\begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3\end {bmatrix} = \begin {bmatrix} 6 \\ 20 \\ 10\end {bmatrix}$     (6)

$\begin{bmatrix} 4 & 6 & 9 \\ 6 & 0 & -2 \\ 5 & -8 & 1\end {bmatrix} = \mathbf {A}$, $\begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3\end {bmatrix} = \mathbf {x}$, $\begin {bmatrix} 6 \\ 20 \\ 10\end {bmatrix} = \mathbf {B}$ 라 하고, (6)을 다음과 같이 쓸 수도 있습니다.

$\mathbf {Ax} = \mathbf {B}$     (7)

 

 

 21.2. Equality, Addition and Scalar Multiplication of Matrices and Vectors.

  21.2.1. Equality of Matrices and Vectors.

 다음과 같은 두 개의 $m \times n$ Matrix인 $\mathbf {A} = [a_{jk}]$, $\mathbf {B} = [b_{jk}]$가 있다고 합시다. 두 matrix의 크기가 같고(row, column의 개수가 같고), 각 원소의 대응하는 원소가 모두 같다면($a_{11} = b_{11}$, $a_{12} = b_{12}$, $\cdots$), 두 matrix $\mathbf {A}$와 $\mathbf {B}$는 같은 matrix라고 합니다.

 

  21.2.2. Addition of Matrices and Vectors.

 크기가 같은 두 Matrix $\mathbf{A} = [a_{jk}]$, $\mathbf {B} = [b_{jk}]$가 있다고 합니다. 두 Matrix의 합은 $\mathbf {A} + \mathbf {B}$로 쓸 수 있으며, 그 합은 각 원소에 대응하는 원소끼리의 합 $a_{jk} + b_{jk}$로 구합니다. 여기서 주의할 점은, 크기가 다른 두 Matrix는 합을 구할 수 없습니다.

$\mathbf {A} + \mathbf {B} = \mathbf {C}$     (8)

$[a_{jk}] + [b_{jk}] = [c_{jk}]$       (9)

예제를 풀어봅시다.

 

 Ex) 1. $\mathbf{A} = \begin {bmatrix} -4 & 6 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \end {bmatrix}$, $\mathbf {B} = \begin {bmatrix} 5 & -1 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \end {bmatrix}$.  $\mathbf {A} + \mathbf {B} = \mathbf {C}$

 

 주어진 두 Matrix는 크기가 2 $\times$ 3 matrix로 크기가 같습니다. 따라서 Matrix 합의 전제 조건을 만족합니다. 이제 각 원소의 대응하는 원소의 합을 구해줍니다.

$\mathbf {A} + \mathbf {B} = \begin {bmatrix} -4 & 6 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 5 & -1 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -4+5 & 6-1 & 3+0 \\ 0+3 & 1+1 & 2+0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 5 & 3 \\ 3 & 2 & 2 \end {bmatrix}$

 

 sol) $\mathbf {C} = \begin {bmatrix} 1 & 5 & 3 \\ 3 & 2 & 2 \end {bmatrix}$

 

  21.2.3. Scalar Multiplication of Matrices and Vectors.

 임의의 크기를 가진 $m \times n$ Matrix $\mathbf {A} = [a_{jk}]$가 있고, 임의의 scalar $c$가 있다고 합시다. Matrix의 Scalar multiplication $c\mathbf{A}$는 $\mathbf{A}$의 모든 원소에 각각 Scalar $c$를 곱함으로써 얻을 수 있습니다. 예제를 풀어봅시다.

 

 Ex) 2. $\mathbf{A} = \begin {bmatrix} 2.7 & -1.8 \\ 0 & 0.9 \\ 9.0 & -4.5\end {bmatrix}$, $\frac {10}{9}\mathbf {A}$

 

 주어진 Matrix의 모든 원소에 Scalar $\frac {10}{9}$를 곱해줍니다.

$\frac {10}{9}\mathbf {A} = \begin {bmatrix} \frac {10}{9}\cdot2.7 & \frac {10}{9}\cdot-1.8 \\ \frac {10}{9}\cdot0 & \frac {10}{9}\cdot0.9 \\ \frac {10}{9}\cdot9.0 & \frac {10}{9}\cdot-4.5\end {bmatrix} = \begin {bmatrix} 3 & -2 \\ 0 & 1 \\ 10 & -5\end {bmatrix}$

 

 sol) $\frac {10}{9}\mathbf {A} = \begin {bmatrix} 3 & -2 \\ 0 & 1 \\ 10 & -5\end {bmatrix}$

 

  21.2.4. Rules for Addition and Scalar Multiplication.

 Matrix의 합은 다음과 같은 법칙을 만족합니다. 이때 세 Matrix $\mathbf {A}$, $\mathbf{B}$, $\mathbf{C}$의 크기는 같다고 합시다.

 $\mathbf{A} + \mathbf{B} = \mathbf{B} + \mathbf{A}$     (10)

 $(\mathbf {A} + \mathbf{B}) + \mathbf{C} = \mathbf{A} + (\mathbf {B} + \mathbf {C})$     (11)

 $\mathbf {A} + \mathbf{0} = \mathbf{A}$     (12)

 $\mathbf{A} + (-\mathbf {A}) = \mathbf {0}$     (13)

 이때 $\mathbf {0}$은 내부의 원소가 모두 0인 matrix인 zero matrix라고 정의합시다. 만일 zero matrix의 row 또는 column이 1일 경우, 이를 zero vector라고 합니다.

 

 Matrix의 Scalar multiplication은 다음과 같은 법칙을 만족합니다.

 $c(\mathbf {A} + \mathbf {B}) = c\mathbf {A} + c\mathbf {B}$     (14)

 $(c+k)\mathbf {A} = c\mathbf {A} + k\mathbf {A}$     (15)

 $c(k\mathbf {A}) = (ck)\mathbf {A} = ck\mathbf {A}$      (16)

 $1\mathbf {A} = \mathbf {A}$     (17)

 

 

 Linear Algebra의 기본인 Matrix, Vector와 그 기본적인 연산에 대해 정리해 보았습니다. 다음 포스팅은 Matrix Multiplication에 대하여 작성할 예정입니다.