24. 벡터 공간(Vector Space)

24.1. Vector Space.

 Vector space는 다음을 만족해야 합니다.

 1) Vector 들의 모임.

 2) Vector $\vec {\mathbf {v}}$, $\vec {\mathbf {w}}$ 가 존재할 때, $\vec {\mathbf {v}}+\vec {\mathbf {w}}$와 $c\vec {\mathbf {v}}$가 같은 공간이어야 합니다.

 3) Vector $\vec{\mathbf{v}}$, $\vec {\mathbf {w}}$ 가 존재할 때, 두 Vector의 선형 결합 $c_1\vec {\mathbf {v}} + c_2\vec {\mathbf {w}}$가 같은 공간이어야 합니다.

 몇 가지 예를 들어 주어진 Space가 Vector Space 인지 판단해 봅시다.

 

 Ex) 1. $\mathrm{R}^2$

  주어진 Space는 2차원 실수 평면입니다. 일반적으로 아는 $x-y$ 평면이라고 생각하시면 되겠습니다.

  $x-y$ 평면의 임의의 두 점을 향하는 위치 벡터를 생각해봅시다. 이 두 Vector를 더해도 더한 Vector는 $\mathrm {R}^2$에 속합니다. 이번에는 임의의 Scalar 곱을 생각해 봅시다. $\mathrm{R}^2$내의 임의의 벡터를 Scalar 곱을 하더라도 $\mathrm{R}^2$에 속합니다. 따라서 주어진 Space $\mathrm {R}^2$은 Vector space입니다.

 

 Ex) 2. 제1 사분면

  제1 사분면 위에 임의의 두 Vector를 생각해 봅시다. 이 Vector들의 합은 제1 사분면에 속합니다. 하지만 Scalar곱의 경 우를 생각해 봅시다. 만일 곱하는 Scalar가 음수일 경우, 이 Vector는 제3 사분면에 속합니다. 주어진 조건을 만족하지 못하기 때문에, 제1 사분면은 Vector space가 아님을 알 수 있습니다.

 

 Ex) 3. $\mathrm {R}^2$위의 zero vector를 지나는 직선

  주어진 조건을 만족하는 직선으로 $y=kx$를 생각해 봅시다. $y=kx$위의 임의의 두 Vector를 생각해봅시다. 이 두 Vector의 합은 $y=kx$ 위에 존재하고, Scalar 곱 역시 $y=kx$ 위에 존재합니다. 따라서 $\mathrm{R}^2$위의 zero vector를 지나는 직선은 Vector space입니다.

 

24.2. Subspace.

 어떤 Vector space 내에 존재하는 Vector space를 Subspace라고 합니다. 예를 들면 다음과 같은 Subspace들이 존재합니다.

 1) $\mathrm {R}^2$에서 Subspace.

  1.1) $\mathrm{R}^2$

  1.2) $\begin {bmatrix} 0 \\ 0 \end {bmatrix}$를 지나는 직선

  1.3) zero vector $\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

 

 2) $\mathrm {R}^3$에서 Subspace.

  2.1) $\mathrm{R}^3$

  2.2) $\begin {bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0\end {bmatrix}$를 지나는 평면

  2.3) $\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix}$를 지나는 직선

  2.4) zero vector $\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix}$

 

 전 문단의 예제인 Vector space를 판별하는 방법으로 위와 같이 제시한 Space가 Vector space이고, 정의에 따라 Subspace임을 알 수 있습니다.

 

24.3. Column space.

 임의의 Matrix $\mathbf {A}=\begin {bmatrix} 1&2&0\\2&3&2\\4&1&-1\end {bmatrix}$를 이용하여 Column space를 이해해 봅시다. Column space란 Matrix의 Column vector들로 이루어진 Subspace를 말합니다.  $\mathbf {A}$의 column space를 $C(\mathbf {A})$라고 합시다. $C(\mathbf{A})$는 서로 선형 독립인 column vector들의 일차결합으로 나타 낼 수 있습니다. $\mathbf{A}$의 column vector는 $\begin{bmatrix}1\\2\\4\end{bmatrix}$,$\begin{bmatrix}2\\3\\1\end{bmatrix}$,$\begin{bmatrix}0\\2\\-1\end{bmatrix}$입니다. 모든 Column vector가 선형 독립이기 때문에, $C(\mathbf{A})$는 다음과 같이 나타 낼 수 있습니다.

 $C(\mathbf{A}) = c_1\begin {bmatrix}1\\2\\4\end {bmatrix} + c_2\begin {bmatrix}2\\3\\1\end {bmatrix} +c_3\begin {bmatrix}0\\2\\-1\end {bmatrix}$      (1)

 

 $\mathbf {Ax} = \mathbf {b}$은 모든 $\mathbf {b}$에 대하여 이를 만족하는 $\mathbf {x}$가 존재할까요? 그렇지 않다면 어떤 조건이어야 해가 존재할까요?

 우선 $\mathbf {Ax} = \mathbf {b}$를 Matrix 형태로 풀어써 봅시다.

$\begin {bmatrix}1&2&0\\2&3&2\\4&1&-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_1\\b_2\\b_3\end {bmatrix}$     (2)

 (2)를 조금 더 풀어쓰면 다음과 같습니다.

$\begin {bmatrix}1&2&0\\2&3&2\\4&1&-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix} = x_1\begin{bmatrix}1\\2\\4\end{bmatrix} + x_2\begin{bmatrix}2\\3\\1\end{bmatrix} + x_3\begin{bmatrix}0\\2\\-1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_1\\b_2\\b_3\end {bmatrix}$     (3)

 (3)에서 (1)의 형태를 발견할 수 있습니다. 즉, $\mathbf {Ax} = \mathbf {b}$에서 $\mathbf {b}$가 $C(\mathbf {A})$에 있을 때, $\mathbf {x}$가 존재한다고 알 수 있습니다.

 

24.4 Null space

 $\mathbf {b}$가 zero matrix일 때인 $\mathbf {Ax}=0$를 만족하는 $\mathbf {x}$를 Null space라고 합니다. $\mathbf {A}$의 Null space를 $N(\mathbf{A})$라 하고, 이를 구해봅시다. $\mathbf{A} = \begin {bmatrix} 1&1&2 \\ 2&1&3 \\ 3&1&4 \\ 4&1&5 \end {bmatrix}$라 합시다.

 먼저 자명한 해 $\mathbf {x} = \begin {bmatrix}0\\0\\0\end {bmatrix}$를 알 수 있습니다. 자명하지 않은 해를 구하기 위해 $\mathbf {A}$를 Gauss Elimination 합니다. 그럼 다음과 같습니다.

 $\begin {bmatrix}1&1&2\\0&-1&-1\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\0\\0\end {bmatrix}$     (4)

 (4)에서 $\mathbf {x}$를 구하면, $\begin {bmatrix} 1\\1\\-1\end {bmatrix}$임을 알 수 있습니다. 즉 $N(\mathbf {A})$는

 $N(\mathbf {A}) = \begin {bmatrix}0\\0\\0\end {bmatrix} + c\begin {bmatrix}1\\1\\-1\end {bmatrix}$     (5)

 

 이번 포스팅은 여기까지 마치겠습니다. 다음 포스팅에서 Rank of Matrix에 대하여 다룰 예정입니다.