48. 푸리에 변환

48.1. Complex Form of the Fourier Integral.

 이전 포스팅에서 푸리에 적분을 다음과 같이 구했습니다.

$f(x) = \int_{0}^{\infty} [A(w)\cos (wx) + B(w)\sin (wx)]dw \cdots (1)$

$A(w) = \frac {1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty} f(v)\cos (wv)dv \cdots (2)$

$B(w) = \frac {1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty} f(v)\sin (wv)dv \cdots (3)$

 (2)와 (3)을 (1)에 대입하여 하나의 식으로 써봅시다.

$f(x) = \frac {1}{\pi}\int_{0}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty}f(v)[\cos (wv) \cos (wx) + \sin (wv) \sin (wx)]dvdw \cdots (4)$

 삼각함수 공식 다음을 이용해봅시다.

$\cos (x-y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y \cdots (5)$

 (5)를 이용해 (4)를 간단히 하면 다음과 같습니다.

$f(x) = \frac {1}{\pi}\int_{0}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty}f(v)\cos(wx-wv)dvdw \cdots (6)$

 (6)의 적분 함수를 살펴봅시다. 적분 함수 $f(v)\cos (wx-wv)$는 적분 변수 $w$에 대하여 우함수임을 알 수 있습니다. 우함수의 정적분 성질 다음을 이용하면 식을 변형할 수 있습니다.

$\int_{-p}^{p} f(x)dx = 2\int_{0}^{p} f(x)dx \qquad (\text {If}\ f(x)\ \text {is even function})\cdots (7)$

 (7)을 이용하면 (6)을 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

$f(x) = \frac {1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty}f(v)\cos(wx-wv)dvdw \cdots (8)$

 (8)의 적분 함수의 코사인을 사인으로 대입하면 기함수이기 때문에, 0이 됨을 알 수 있습니다.

$\frac {1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty}f(v)\sin(wx-wv)dvdw= 0  \cdots (9)$

 이제 (9)에 $i(=\sqrt {-1})$를 곱하고 (8)에 더해봅시다. (9)의 값은 0이기 때문에, $f(x)$의 값을 변화시키지 않습니다.

$f(x) = \frac {1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(v)[\cos (wx-wv) + i\sin (wx-wv)]dvdw \cdots (10)$

 오일러의 공식 $e^{ix} = \cos x + i \sin x$를 이용하여, (10)의 식을 정리해봅시다.

$f(x) = \frac {1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(v)e^{iw(x-v)}dvdw \cdots (11)$

 (11)의 결과를 통해, 푸리에 적분을 복소수 형태로 나타내는 방법을 알아냈습니다.

 

48.2. Fourier Transform and Its Inverse.

 (11)식을 다음과 같이 변형해 봅시다.

$f(x) = \frac {1}{\sqrt {2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} \left[\frac {1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f(v)e^{-iwv}dv\right]e^{iwx}dw \cdots (12)$

 이때 (12)의 대괄호 안의 식을 $\hat {f}(w)$라 하고, 푸리에 변환으로 정의합시다. 적분 변수 $v$를 $x$로 바꾸어줍니다.

$\hat {f}(w) = \frac {1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-iwx}dx \cdots (13)$

 (13)을 다시 (12)에 대입해 봅시다. 이는 역변환식을 의미합니다.

$f(x) = \frac {1}{\sqrt {2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} \hat {f}(w)e^{iwx}dw \cdots (14)$

 푸리에 코사인 사인 변환과 마찬가지로 푸리에 변환을 다음과 같이 기호로 쓸 수 있습니다.

$\hat {f} = \mathfrak {F}(f)$

$f = \mathfrak {F}^{-1}(\hat {f})$

 푸리에 변환은 라플라스 변환과는 다르게 역변환이 매우 쉽다는 장점이 있습니다. 푸리에 변환식의 지수의 부호만 다르기 때문입니다.

 푸리에 변환은 적분식이기 때문에, 푸리에 코사인 사인 변환과 마찬가지로 선형 연산입니다. 증명법은 이전 포스팅의 코사인 사인 변환과 유사하므로 생략하겠습니다.

$\mathfrak {F}(af + bg) = a\mathfrak {F}(f) + b\mathfrak {F}(g) \cdots (15)$

 

48.3. Fourier Transform of Derivatives.

 도함수의 푸리에 변환을 구해봅시다. $f(x)$는 $x$에 대해 연속함수이고 도함수가 존재하고, $|x| \to \infty$일 때, $f(x) \to 0$라고 합시다. 도함수 $f'(x)$를 푸리에 변환 공식 (13)에 대입해 봅시다.

 $\mathfrak {F}(f'(x)) = \frac {1}{\sqrt {2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} f'(x)e^{-iwx}dx \cdots (16)$

 부분 적분법으로 (16)의 적분을 계산해 봅시다.

$\begin {matrix} \mathfrak {F}(f'(x)) &=& \frac {1}{\sqrt {2\pi}}\left[f(x)e^{-iwx}|_{\infty}^{\infty}+iw\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-iwx}dx\right] \\ &=& 0 + iw\mathfrak {F}(f(x)) \end {matrix}\cdots (17)$

 (17)의 결과로 도함수의 푸리에 변환은 다음과 같다는 것을 확인했습니다.

$\mathfrak {F}(f'(x)) = iw\mathfrak {F}(f(x)) \cdots (18)$

 이번에는 이계도함수의 푸리에 변환을 구해 봅시다. 도함수의 푸리에 변환을 먼저 구했으니 구하는 것은 어렵지 않습니다.

$\mathfrak {F}(f''(x)) = iw\mathfrak {F}(f'(x)) = (iw)^2\mathfrak {F}(f(x)) = -w^2\mathfrak {F}(f(x)) \cdots (19)$

 따라서 이계도함수의 푸리에 변환은 다음과 같음을 확인할 수 있습니다.

$\mathfrak {F}(f''(x)) = -w^2\mathfrak {F}(f(x)) \cdots (20)$

 

48.4. Convolution.

 푸리에 급수의 컨볼루션 결과를 구해 봅시다. 먼저 컨볼루션의 정의를 다시 확인해 봅시다.

$h(x) = (f*g)(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(p)g(x-p)dp = \int_{-\infty}^{\infty}f(x-p)g(p)dp \cdots (21)$

 (21)을 (13)에 대입해 봅시다.

$\mathfrak {F}(f*g) = \frac {1}{\sqrt {2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(p)g(x-p)dp\ e^{-iwx}dx\cdots (22)$

 (22)의 적분 순서를 바꾸어봅시다.

$\mathfrak {F}(f*g) = \frac {1}{\sqrt {2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(p)g(x-p)\ e^{-iwx}dxdp\cdots (23)$

 $x-p = q$로 치환합시다. 그렇다면 $x = p+q$가 되겠습니다. 적분 구간은 여전히 $(-\infty,\infty)$이고 $dx = dq$이므로 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

$\mathfrak {F}(f*g) = \frac {1}{\sqrt {2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(p)g(q)\ e^{-iw(p+q)}dqdp\cdots (24)$

 (24)의 이중적분은 각각의 변수의 적분 곱으로 나타낼 수 있습니다.

$\mathfrak {F}(f*g) = \frac {1}{\sqrt {2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f(p)e^{-iwp}dp\int_{\infty}^{\infty}g(q)e^{-iwq}dq \cdots (25)$

 (25)를 변형하여 각 적분을 푸리에 변환으로 나타낼 수 있습니다.

$\begin {matrix} \mathfrak {F}(f*g) &=& \frac {1}{\sqrt {2\pi}}\left[\sqrt {2\pi}\frac {1}{\sqrt {2\pi}}\int_{\infty}^{\infty}f(p)e^{-iwp}dp\right] \left[\sqrt {2\pi}\frac {1}{\sqrt {2\pi}} \int_{\infty}^{\infty}g(q)e^{-iwq}dq\right] \\ &=& \frac {1}{\sqrt {2\pi}}[\sqrt {2\pi}\mathfrak {F}(f)][\sqrt {2\pi}\mathfrak {F}(g)] \\ &=& \sqrt {2\pi} \mathfrak {F}(f) \mathfrak {F}(g) \end {matrix}\cdots (26)$

 (26)의 결론에 따라, 컨볼루션의 푸리에 변환은 다음과 같음을 알 수 있습니다.

$\mathfrak {F}(f*g) = \sqrt {2\pi} \mathfrak {F}(f) \mathfrak {F}(g) \cdots (27)$

 (27)의 양변에 (14)를 이용한 푸리에 역변환을 취해 봅시다.

$\mathfrak {F}^{-1}(\mathfrak {F}(f*g)) = (f*g)(x) = \sqrt {2\pi}\frac {1}{\sqrt {2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} \mathfrak {F}(f)\mathfrak {F}(g)e^{iwx}dw \cdots (28)$

 (28)의 식을 정리하고 $f$와 $g$가 $w$에 대한 함수임을 나타내기 위해 푸리에 변환 기호를 $\hat {f}(w)$와 $\hat {g}(w)$를 사용합시다.

$(f*g)(x) = \int_{-\infty}^{\infty} \hat {f}(w)\hat {g}(w)e^{iwx}dw \cdots (29)$

 (29)에서 컨볼루션 곱을 푸리에 역변환으로도 구할 수 있음을 확인했습니다.

 

 

이번 포스팅은 여기서 마치겠습니다.