47. 푸리에 코사인, 사인 변환

47.1. Fourier Cosine and Sine Transforms.

 이전 포스팅에서 $f(x)$가 우함수일 경우 푸리에 코사인 적분을 할 수 있다는 것을 확인했습니다.

$f(x) = \int_{0}^{\infty} A(w)\cos (wx) dw\cdots(1a)$          $A(w) = \frac {2}{\pi} \int_{0}^{\infty} f(v) \cos (wv) dv \cdots (1b)$

 (1)의 $A(w)$를 $A(w) = \sqrt {\frac {2}{\pi}}\hat {f_c}(w)$라고 합시다. (1b)의 적분 변수 $v$를 모두 $x$로 바꿉시다. 그렇다면 다음과 같이 $\hat {f_c}(w)$와 $f(x)$의 관계를 쓸 수 있습니다.

$\hat {f_c}(w) = \sqrt {\frac {2}{\pi}}\int_{0}^{\infty}f(x)\cos (wx) dx \cdots (2)$

 (2)를 (1a)에 대입하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

$f(x) = \sqrt {\frac {2}{\pi}}\int_{0}^{\infty} \hat {f_c}(w)\cos (wx)dw \cdots (3)$

 여기서 (2)를 푸리에 코사인 변환이라 하고, (3)을 푸리에 코사인 역변환이라고 합니다. 같은 방법으로 $f(x)$가 기함수인 경우 푸리에 사인 변환을 살펴봅시다. 푸리에 사인 적분은 다음과 같습니다.

$f(x) = \int_{0}^{\infty} B(w)\sin (wx) dw \cdots (4a)$          $B(w) = \frac {2}{\pi} \int_{0}^{\infty} f(v) \sin (wv) dv \cdots (4b)$

 같은 방법으로 $B(w) = \sqrt {\frac {2}{\pi}}\hat {f_s}(w)$라고 하고, (4b)의 적분 변수 $v$를 $x$로 바꾸어 주면 푸리에 사인 변환은 다음과 같습니다.

$\hat {f_s}(w) = \sqrt {\frac {2}{\pi}}\int_{0}^{\infty}f(x) \sin (wx) dx \cdots (5)$

 (5)를 (4a)에 대입하면 푸리에 사인 역변환을 얻을 수 있습니다.

$f(x) = \sqrt {\frac {2}{\pi}}\int_{0}^{\infty} \hat {f_s}(w) \sin (wx)dx \cdots (6)$

 푸리에 코사인 사인 변환 기호를 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

$\mathfrak {F}_c(f) = \hat {f_c}$

$\mathfrak {F}_s(f) = \hat {f_s}$

 예제를 풀어 봅시다.

 

Ex) 1. $\mathfrak {F}_c(e^{-x})$를 구하라.

 주어진 식을 (2)에 대입합시다.

$\mathfrak {F}_c(e^{-x}) = \sqrt {\frac {2}{\pi}}\int_{0}^{\infty} e^{-x}\cos (wx) dx \cdots (7)$

 적분 공식 다음을 이용해 봅시다.

$\int e^{ax}\cos (bx)dx = \frac {e^{ax}(a\cos (bx) + b\sin (bx))}{a^2 + b^2} + C \cdots (8)$

 (7)에서 구하는 식은 (8)에 $a = -1$, $b=w$를 대입한 것과 같습니다. 식을 계산해 봅시다.

$\mathfrak {F}_c(e^{-x}) = \sqrt {\frac {2}{\pi}}\left[ \frac {e^{-x}(-\cos (wx) + w\sin (wx))}{1 + w^2}\right]|_{0}^{\infty}= \sqrt {\frac {2}{\pi}}\left(0 - \frac {-1}{1+w^2}\right) = \frac {\sqrt {\frac {2}{\pi}}}{1+w^2} \cdots (9)$

 

Sol) $\mathfrak {F}_c(e^{-x}) = \frac {\sqrt {\frac {2}{\pi}}}{1+w^2}$

 

47.2. Linearity.

 푸리에 코사인 변환에 함수 $f$와 $g$, 상수 $a$, $b$로 이루어진 식인 $af + bg$를 대입해 봅시다. 식은 다음과 같아집니다.

$\mathfrak {F}_c(af + bg) = \sqrt {\frac {2}{\pi}}\int_{0}^{\infty} [af(x) + bg(x)]\cos (wx) dx \cdots (10)$

 적분의 성질에 의해, (10)의 식은 다음과 같이 변형할 수 있습니다.

$\sqrt {\frac {2}{\pi}}\int_{0}^{\infty} [af(x) + bg(x)]\cos (wx)dx = a \sqrt {\frac {2}{\pi}}\int_{0}^{\infty} f(x)\cos (wx) dx + b \sqrt {\frac {2}{\pi}}\int_{0}^{\infty} g(x)\cos (wx) dx \cdots (11)$

 (2)를 이용하면 (11)을 간단히 쓸 수 있습니다.

$a \sqrt {\frac {2}{\pi}}\int_{0}^{\infty}f(x)\cos (wx) dx + b \sqrt {\frac {2}{\pi}}\int_{0}^{\infty} g(x)\cos (wx) dx = a\mathfrak {F}_c(f) + b\mathfrak {F}_c(g) \cdots (12)$

 (10)과 (12)를 합하면 다음과 같은 결과를 얻게 됩니다.

$\mathfrak {F}_c(af + bg) = a\mathfrak {F}_c(f) + b\mathfrak {F}_c(g) \cdots (13)$

 푸리에 사인 변환 또한 같은 방법으로 식이 성립함을 쉽게 보일 수 있습니다.

$\mathfrak {F}_s(af + bg) = a\mathfrak {F}_s(f) + b\mathfrak {F}_s(g) \cdots (14)$

 (13),(14)이 성립하므로, 푸리에 코사인 사인 변환은 선형 연산임을 확인할 수 있습니다.

 

47.3. Transforms of Derivatives.

 이번에는 도함수를 푸리에 코사인 사인 변환을 해봅시다. 연속이고 미분 가능한 함수 $f(x)$가 주어지고 $f(x)$의 도함수 $f'(x)$는 모든 유한한 구간에서 연속하다고 합시다. 그리고 $x \to \infty$일 때, $f(x) \to 0$라고 합시다. $f'(x)$를 (2)에 대입하여 먼저 푸리에 코사인 변환을 구해 봅시다.

 $\mathfrak {F}_c(f'(x)) = \sqrt {\frac {2}{\pi}}\int_{0}^{\infty} f'(x)\cos (wx) dx \cdots (15)$

부분 적분법을 이용하여 (15)를 풀어봅시다.

$\begin {matrix} \sqrt {\frac {2}{\pi}}\int_{0}^{\infty} f'(x)\cos (wx)dx &=& \sqrt {\frac {2}{\pi}}\left [f(x)\cos (wx)|_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} f(x) \sin (wx) dx\right] \\ &=& \left(0-\sqrt {\frac {2}{\pi}}f(0)\right) + w\sqrt {\frac {2}{\pi}}\int_{0}^{\infty} f(x)\sin (wx) dx \\ &=& -\sqrt {\frac {2}{\pi}}f(0) + w \mathfrak {F}_s(f(x))\end {matrix}\cdots (16)$

 (16)에 의하여, 다음과 같음을 얻을 수 있습니다.

$\mathfrak {F}_c(f'(x)) = -\sqrt {\frac {2}{\pi}}f(0) + w \mathfrak {F}_s(f(x))\cdots (17)$

 같은 방법으로 도함수의 푸리에 사인 변환을 구해 봅시다.

 $\begin {matrix} \mathfrak {F}_s(f'(x)) &=& \sqrt {\frac {2}{\pi}}\int_{0}^{\infty} f'(x) \sin (wx)dx \\ &=& \sqrt {\frac {2}{\pi}}\left [f(x)\sin (wx)|_{0}^{\infty} - w\int_{0}^{\infty} f(x)\cos (wx) dx\right] \\ &=& (0 - 0) - w\sqrt {\frac {2}{\pi}}\int_{0}^{\infty} f(x)\cos (wx) dx \\ &=& -w\mathfrak {F}_c(f(x)) \end {matrix} \cdots (18)$

 이계도함수의 푸리에 변환을 구해 봅시다. 코사인 변환 먼저 구해 봅시다.

$\begin {matrix} \mathfrak {F}_c(f''(x)) &=& -\sqrt {\frac {2}{\pi}}f'(0) + w \mathfrak {F}_s(f'(x)) \\ &=& -\sqrt {\frac {2}{\pi}}f'(0) + w[-w \mathfrak {F}_c(f(x))] \\ &=& -w^2\mathfrak {F}_c(f(x)) - \sqrt {\frac {2}{\pi}}f'(0) \end {matrix} \cdots (19)$

 사인 변환을 구해봅시다.

$\begin {matrix} \mathfrak {F}_s(f''(x)) &=& -w\mathfrak {F}_c(f'(x)) \\ &=& -w\left [-\sqrt {\frac {2}{\pi}}f(0) + w \mathfrak {F}_s(f(x))\right] \\ &=& -w^2\mathfrak {F}_s(f(x)) + \sqrt {\frac {2}{\pi}}wf(0) \end {matrix} \cdots (20)$

 (19), (20)으로 이계도 함수의 푸리에 코사인 사인 변환을 확인할 수 있습니다.

 

 이번 포스팅은 여기까지입니다. 다음 포스팅에서 Fourier Transform. 에 대하여 다룰 예정입니다.