45. 우함수와 기함수의 푸리에 급수

 

 $f(x)$의 푸리에 급수를 써봅시다.

$$f(x) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} a_n\cos \left(\frac {2n\pi}{p}x\right) + \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin \left(\frac {2n\pi}{p}x\right) \cdots (1)$$

$$a_0 = \frac {1}{p} \int_{-\frac {p}{2}}^{\frac {p}{2}} f(x)dx \cdots (2)$$

$$a_n = \frac {2}{p} \int_{-\frac {p}{2}}^{\frac {p}{2}} f(x)\cos \left(\frac {2n\pi}{p}x\right)dx \cdots (3)$$

$$b_n = \frac {2}{p} \int_{-\frac {p}{2}}^{\frac {p}{2}} f(x)\sin \left(\frac {2n\pi}{p}x\right)dx \cdots (4)$$

 $f(x)$가 우함수라면, 다음 식이 성립합니다.

$$\int_{-q}^{q} f(x)dx = 2\int_{0}^{q} f(x)dx \cdots (5)$$

 $f(x)$가 기함수라면, 다음 식이 성립합니다.

$$\int_{-q}^{q} f(x)dx = 0 \cdots (6)$$

 그리고 우함수, 기함수로만 구성된 곱셈은 다음이 성립합니다. $f$를 우함수, $g$를 기함수라 하면

$\begin {cases} f\cdot f = f \\ f \cdot g = g \\ g \cdot g = f \end {cases}\cdots (7)$

 $f(x)$가 우함수일 때 푸리에 급수를 간단히 나타내봅시다. 사인 함수는 우함수이므로, (7)을 참고하면 (4)의 전체 적분 함수는 우함수와 기함수의 곱이므로 기함수가 됩니다. (6)에 따라 $b_n$은 다음과 같습니다.

$$b_n = 0\cdots (8)$$

 코사인 함수는 우함수입니다. (7)에서 우함수와 우함수의 곱은 우함수이므로, (3)의 전체 적분 함수는 우함수입니다. 따라서 $a_n$을 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

$$a_n = \frac {4}{p} \int_{0}^{\frac {p}{2}} f(x)\cos \left(\frac {2n\pi}{p}x\right)dx \cdots (9)$$

 같은 방법으로 $a_0$는 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

$$a_0 = \frac {2}{p}\int_{0}^{\frac {p}{2}} f(x)dx \cdots (10)$$

 (8), (9), (10)을 종합하면 우함수의 푸리에 급수는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

$$\begin {matrix} f(x) &=& a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} a_n\cos \left(\frac {2n\pi}{p}x\right) \\ &=& \frac {2}{p}\int_{0}^{\frac {p}{2}} f(x)dx + \sum_{n=1}^{\infty} \left[\frac {4}{p} \int_{0}^{\frac {p}{2}} f(x)\cos \left(\frac {2n\pi}{p}x\right)dx\right]\cos \left(\frac {2n\pi}{p}x\right) \end {matrix} \cdots (11)$$

 이번에는 $f(x)$가 기함수일 때 푸리에 급수를 구해 봅시다.

 (7)을 참고하면 (2)의 적분 함수는 기함수, (3)의 적분 함수는 기함수, (4)의 적분 함수는 우함수가 됩니다. 각각을 정리하면 다음과 같아집니다.

$a_0 = 0 \cdots (12)$

$a_n = 0 \cdots (13)$

$$b_n = \frac {4}{p}\int_{0}^{\frac {p}{2}} f(x)\sin \left(\frac {2n\pi}{p}x\right)dx \cdots (14)$$

 (12), (13), (14)를 (1)에 대입하면 $f(x)$가 기함수일 때 푸리에 급수는 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

$$f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin\left(\frac {2n\pi}{p}x\right) = \sum_{n=1}^{\infty} \left[\frac {4}{p}\int_{0}^{\frac {p}{2}} f(x)\sin \left(\frac {2n\pi}{p}x\right)dx\right]\sin\left(\frac {2n\pi}{p}x\right) \cdots (15)$$

 예제를 풀어봅시다.

 

 Ex) $f(x) = 1 - \frac {x^2}{4} \qquad (-2<x<2),\ p=4$일 때, 푸리에 급수를 구해봅시다.

 주어진 함수 $f(x)$는 우함수입니다. 즉, (11)식을 이용하면 됩니다. $a_0$를 구해봅시다. (10)에 대입하면 다음과 같습니다.

$$a_0 = \frac {1}{2} \int_{0}^{2} \left(1- \frac {x^2}{4}\right)dx = \frac {1}{2}\left(x- \frac {x^3}{12}\right)|_{0}^{2} = \frac {1}{2}\left(2-\frac {8}{12}\right) - 0 = \frac {2}{3} \cdots (16)$$

 (9)를 이용하여 $a_n$을 구해봅시다. 주어진 조건을 대입하면 다음과 같습니다.

$$a_n = \frac {4}{4}\int_{0}^{\frac {4}{2}}\left(1-\frac {x^2}{4}\right)\cdot \cos \left(\frac {2n\pi}{4}x\right)dx = \int_{0}^{2}\left(1-\frac {x^2}{4}\right)\cdot \cos \left(\frac {n\pi}{2}x\right)dx \cdots (17)$$

 부분적분법을 이용하여 (17)을 계산해 봅시다.

$$\begin {matrix} a_n &=&  \int_{0}^{2}\left(1-\frac {x^2}{4}\right)\cdot \cos \left(\frac {n\pi}{2}x\right)dx \\ &=& \left[\left(1-\frac {x^2}{4}\right)\cdot \frac {2}{n\pi}\sin \left(\frac {n\pi}{2}x\right)\right]|_{0}^{2} - \int_{0}^{2} \left(-\frac {x}{2}\right)\cdot \frac {2}{n\pi}\sin \left(\frac {n\pi}{2}x\right)dx \\ &=& (0-0) + \left[-\frac {x}{2}\cdot \left(\frac {2}{n\pi}\right)^2 \cos \left(\frac {n\pi}{2}x\right)\right]|_{0}^{2} - \int_{0}^{2} \frac {1}{2} \cdot \left(\frac {2}{n\pi}\right)^2\cos \left(\frac {n\pi}{2}x\right)dx \\ &=& (-1)\cdot \frac {4}{(n\pi)^2} \cdot \cos (n\pi) - \frac {4}{(n\pi)^3}\left[\sin \left(\frac {n\pi}{2}x\right)\right]|_{0}^{2} \\ &=& (-1) \cdot \frac {4}{(n\pi)^2} \cdot (-1)^{n} - (0-0) \\ &=& \frac {4\cdot(-1)^{n+1}}{(n\pi)^2} \end {matrix} \cdots (18)$$

 (16), (18)을 (11)에 대입합시다.

$$f(x) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos \left(\frac {2n\pi}{p}x\right) = \frac {2}{3} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac {4\cdot (-1)^{n+1}}{(n\pi)^2} \cdot \cos \left(\frac {n\pi}{2}x\right) \cdots (19)$$

 

Sol) $$f(x) = \frac {2}{3} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac {4\cdot (-1)^{n+1}}{(n\pi)^2} \cdot \cos \left(\frac {n\pi}{2}x\right)$$

 

 이번 포스팅은 여기서 마치겠습니다. 다음 포스팅에서 Fourier Integral. 에 대하여 다룰 예정입니다.