46.1. Fourier Integral.
주기 함수 f(x)를 푸리에 급수로 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
f(x)=a0+∑∞n=1ancos(2nπpx)+∑∞n=1bnsin(2nπpx)⋯(1)
하지만 f(x)가 주기 함수여야 성립하는 한계가 있습니다. f(x)가 주기의 크기가 매우 큰 함수라고 해봅시다. f(x)의 주기를 p=2L이라 합시다. (1)은 다음과 같이 정리됩니다.
f(x)=a0+∑∞n=1ancos(nπLx)+∑∞n=1bnsin(nπLx)⋯(2)
계수는 다음과 같이 되겠습니다.
a0=12L∫L−Lf(x)dx⋯(3)
an=1L∫L−Lf(x)cos(nπLx)dx⋯(4)
bn=1L∫L−Lf(x)sin(nπLx)dx⋯(5)
wn=nπL이라 합시다. wn+1=(n+1)πL이되고, Δw는 다음과 같습니다.
Δw=wn+1−wn=πL⋯(6)
(3), (4), (5)를 (2)에 대입하여 전체 식을 써봅시다. 계수식의 적분 변수를 x에서 v로 바꿉시다.
f(x)=a0+∑∞n=11L∫L−Lf(v)cos(nπLv)dv⋅cos(nπLx)+∑∞n=11L∫L−Lf(v)sin(nπLv)dv⋅sin(nπLx)⋯(7)
매우 큰 주기를 가진다고 합시다. 즉 L→∞입니다. (3)에서 L→∞라면, a0=0이 됩니다. (6)에서 lim입니다. w_n \approx w_{n+1}이므로, w로 씁시다. 또 (6)의 식을 바꾸면 다음과 같습니다.
\frac {1}{L} = \frac {\Delta w}{\pi} \cdots (8)
(8)식을 이용하여 (2)를 정리하면 다음과 같습니다.
\begin {matrix} f(x) &=& \lim_{\Delta w \to \infty} \frac {1}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \left[\int_{-\infty}^{\infty}f(v)\cos (w_n v)dv\right]\cos (w_n x)\Delta w \\ && + \frac {1}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \left[\int_{-\infty}^{\infty}f(v)\sin(w_n v)dv\right] \sin (w_n x) \Delta w \end {matrix} \cdots (9)
(9)의 대괄호 적분항을 다음과 같이 치환합시다.
A(w) = \int_{-\infty}^{\infty}f(v)\cos (wv)dv \cdots (10)
B(w) = \int_{-\infty}^{\infty}f(v)\sin(wv)dv \cdots (11)
(10), (11)을 이용하여 (9)를 다음과 같이 간단히 쓸 수 있습니다.
\begin {matrix} f(x) &=& \lim_{n \to \infty} \frac {1}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} A(w)\cos (w_n x)\Delta w \\ && + \frac {1}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} B(w)\sin (w_n x) \Delta w \end {matrix} \cdots (12)
정적분의 정의로 (12)식을 더 간단히 할 수 있습니다.
f(x) = \frac {1}{\pi} \left[ \int_{0}^{\infty} A(w)\cos (wx)dw + \int_{0}^{\infty} B(w)\sin (wx)dw\right] \cdots (13)
(13)을 푸리에 적분이라고 합니다. 푸리에 적분은 주기 함수가 아닌 함수에도 적용할 수 있는 장점이 있습니다.
예제를 통해 함수를 푸리에 적분으로 나타내 봅시다.
Ex) f(x) = \begin {cases} 1 & |x|<1 \\ 0 &|x|>1 \end {cases}
주어진 함수를 (10), (11)에 각각 대입해 봅시다.
A(w) = \frac {1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty}f(v)\cos (wv)dv = \frac {1}{\pi} \int_{-1}^{1}\cos (wv)dv = \left(\frac {2\sin (wv)}{\pi w}\right)|_{0}^{1} = \frac {2\sin w}{\pi w} \cdots (14)
B(w) = \frac {1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty}f(v)\sin (wv) = \frac {1}{\pi} \int_{-1}^{1}\sin (wv)dv = 0 \cdots (15)
(14), (15)를 (13)에 대입해봅시다.
f(x) = \frac {2}{\pi} \int_{0}^{\infty} \frac {\cos (wx) \sin w}{w} dw \cdots (16)
(16)의 적분값은 다음과 같습니다. 적분항만 가져옵니다.
f(x) = \int_{0}^{\infty} \frac {\cos (wx) \sin w}{w} dw = \begin {cases} \frac {\pi}{2} & 0 \leq x <1 \\ \frac {\pi}{4} & x=1 \\ 0 &x>1 \end {cases} \cdots (17)
(17)에 x = 0을 대입하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.
\int_{0}^{\infty} \frac {\sin w}{w}dw = \frac {\pi}{2} \cdots (18)
(18)로 파생된 다음 함수를 Sine 적분이라 합니다. 다음과 같이 표기할 수 있습니다.
\mathrm {Si}(u) = \int_{0}^{u}\frac {\sin w}{w}dw \cdots (19)
삼각함수의 곱을 합으로 바꾸는 공식을 이용해 봅시다.
\sin x \cos y = \frac {1}{2}[\sin (x+y) + \sin (x - y)] \cdots (20)
(20)을 이용하여 (16)을 변형하면 다음과 같습니다.
f(x) = \lim_{a \to \infty} \frac {2}{\pi} \int_{0}^{a} \frac {\cos (wx) \sin w}{w}dw = \lim_{n \to \infty} \frac {1}{\pi} \int_{0}^{a} \frac {\sin (w+wx)}{w} dw + \lim_{n\to \infty} \frac {1}{\pi}\int_{0}^{a} \frac {\sin (w-wx)}{w}dw \cdots (21)
치환적분을 이용하여 (21)을 변형해 봅시다. (21) 우변의 첫번째 항은 w + wx = t로 치환하고, 두번째 항은 w - wx =s로 치환합시다. 식은 다음과 같아집니다.
f(x) = \lim_{a \to \infty} \frac {2}{\pi} \int_{0}^{a} \frac {\cos (wx) \sin w}{w}dw = \lim_{a\to \infty}\left[\frac {1}{\pi}\int_{0}^{(x+1)a}\frac {\sin t}{t}dt - \frac {1}{\pi}\int_{0}^{(x-1)a}\frac {\sin s}{s}ds\right] \cdots (22)
(19)를 이용하면 (22)를 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
f(x) = \lim_{n\to \infty} \left[\frac {1}{\pi} \mathrm {Si}(a[x+1]) - \frac {1}{\pi} \mathrm {Si}(a[x-1])\right] \cdots (23)
46.2. Fourier Integral of Odd and Even Function.
f(x)가 우함수이거나 기함수라면 푸리에 적분을 더 간단히 할 수 있습니다. f(x)가 우함수라면 B(w) = 0이 되므로 다음과 같이 간단해집니다.
f(x) = \int_{0}^{\infty} A(w)\cos (wx)dw, A(w) = \frac {2}{\pi}\int_{0}^{\infty}f(v)\cos (wv)dv\cdots (24)
(24)의 경우 코사인 항만 남아있기 때문에 푸리에 코사인 적분이라고도 합니다.
f(x)가 기함수인경우 A(w) = 0이 됩니다. 다음과 같이 식을 쓸 수 있습니다.
f(x) = \int_{0}^{\infty} B(w)\sin (wx)dw, B(w) = \frac {2}{\pi}\int_{0}^{\infty}f(v)\sin (wv)dv\cdots (25)
(25)는 사인 항만 남아있기 때문에 푸리에 사인 적분이라고도 합니다.
이번 포스팅은 여기서 마치겠습니다. 다음 포스팅에서 Fourier Cosine and Sine Transforms. 에 대하여 다룰 예정입니다.
'전공 정리 > 공업수학' 카테고리의 다른 글
48. 푸리에 변환 (1) | 2020.07.14 |
---|---|
47. 푸리에 코사인, 사인 변환 (0) | 2020.07.13 |
45. 우함수와 기함수의 푸리에 급수 (0) | 2020.06.28 |
44. 푸리에 급수 (0) | 2020.06.28 |
43. 스토크스(Stokes) 정리 (0) | 2020.06.26 |
댓글