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전공 정리/공업수학

46. 푸리에 적분

by 꼬긔 2020. 7. 7.

46.1. Fourier Integral.

 주기 함수 f(x)를 푸리에 급수로 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

f(x)=a0+n=1ancos(2nπpx)+n=1bnsin(2nπpx)(1)

 하지만 f(x)가 주기 함수여야 성립하는 한계가 있습니다. f(x)가 주기의 크기가 매우 큰 함수라고 해봅시다. f(x)의 주기를 p=2L이라 합시다. (1)은 다음과 같이 정리됩니다.

f(x)=a0+n=1ancos(nπLx)+n=1bnsin(nπLx)(2)

 계수는 다음과 같이 되겠습니다.

a0=12LLLf(x)dx(3)

an=1LLLf(x)cos(nπLx)dx(4)

bn=1LLLf(x)sin(nπLx)dx(5)

 wn=nπL이라 합시다. wn+1=(n+1)πL이되고, Δw는 다음과 같습니다.

Δw=wn+1wn=πL(6)

 (3), (4), (5)를 (2)에 대입하여 전체 식을 써봅시다. 계수식의 적분 변수를 x에서 v로 바꿉시다.

f(x)=a0+n=11LLLf(v)cos(nπLv)dvcos(nπLx)+n=11LLLf(v)sin(nπLv)dvsin(nπLx)(7)

 매우 큰 주기를 가진다고 합시다. 즉 L입니다. (3)에서 L라면, a0=0이 됩니다. (6)에서 lim입니다. w_n \approx w_{n+1}이므로, w로 씁시다. 또 (6)의 식을 바꾸면 다음과 같습니다.

\frac {1}{L} = \frac {\Delta w}{\pi} \cdots (8)

 (8)식을 이용하여 (2)를 정리하면 다음과 같습니다.

\begin {matrix} f(x) &=& \lim_{\Delta w \to \infty} \frac {1}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \left[\int_{-\infty}^{\infty}f(v)\cos (w_n v)dv\right]\cos (w_n x)\Delta w \\ && + \frac {1}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \left[\int_{-\infty}^{\infty}f(v)\sin(w_n v)dv\right] \sin (w_n x) \Delta w \end {matrix} \cdots (9)

 (9)의 대괄호 적분항을 다음과 같이 치환합시다.

A(w) = \int_{-\infty}^{\infty}f(v)\cos (wv)dv \cdots (10)

B(w) = \int_{-\infty}^{\infty}f(v)\sin(wv)dv \cdots (11)

 (10), (11)을 이용하여 (9)를 다음과 같이 간단히 쓸 수 있습니다.

\begin {matrix} f(x) &=& \lim_{n \to \infty} \frac {1}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} A(w)\cos (w_n x)\Delta w \\ && + \frac {1}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} B(w)\sin (w_n x) \Delta w \end {matrix} \cdots (12)

 정적분의 정의로 (12)식을 더 간단히 할 수 있습니다.

f(x) = \frac {1}{\pi} \left[ \int_{0}^{\infty} A(w)\cos (wx)dw + \int_{0}^{\infty} B(w)\sin (wx)dw\right] \cdots (13)

 (13)을 푸리에 적분이라고 합니다. 푸리에 적분은 주기 함수가 아닌 함수에도 적용할 수 있는 장점이 있습니다.

예제를 통해 함수를 푸리에 적분으로 나타내 봅시다.

 

Ex) f(x) = \begin {cases} 1 & |x|<1 \\ 0 &|x|>1 \end {cases}

 주어진 함수를 (10), (11)에 각각 대입해 봅시다.

A(w) = \frac {1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty}f(v)\cos (wv)dv = \frac {1}{\pi} \int_{-1}^{1}\cos (wv)dv = \left(\frac {2\sin (wv)}{\pi w}\right)|_{0}^{1} = \frac {2\sin w}{\pi w} \cdots (14)

B(w) = \frac {1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty}f(v)\sin (wv) = \frac {1}{\pi} \int_{-1}^{1}\sin (wv)dv = 0 \cdots (15)

 (14), (15)를 (13)에 대입해봅시다.

f(x) = \frac {2}{\pi} \int_{0}^{\infty} \frac {\cos (wx) \sin w}{w} dw \cdots (16)

 (16)의 적분값은 다음과 같습니다. 적분항만 가져옵니다.

f(x) = \int_{0}^{\infty} \frac {\cos (wx) \sin w}{w} dw = \begin {cases} \frac {\pi}{2} & 0 \leq x <1 \\ \frac {\pi}{4} & x=1 \\ 0 &x>1 \end {cases} \cdots (17)

 (17)에 x = 0을 대입하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

\int_{0}^{\infty} \frac {\sin w}{w}dw = \frac {\pi}{2} \cdots (18)

 (18)로 파생된 다음 함수를 Sine 적분이라 합니다. 다음과 같이 표기할 수 있습니다.

\mathrm {Si}(u) = \int_{0}^{u}\frac {\sin w}{w}dw \cdots (19)

 삼각함수의 곱을 합으로 바꾸는 공식을 이용해 봅시다.

\sin x \cos y = \frac {1}{2}[\sin (x+y) + \sin (x - y)] \cdots (20)

 (20)을 이용하여 (16)을 변형하면 다음과 같습니다.

f(x) = \lim_{a \to \infty} \frac {2}{\pi} \int_{0}^{a} \frac {\cos (wx) \sin w}{w}dw = \lim_{n \to \infty} \frac {1}{\pi} \int_{0}^{a} \frac {\sin (w+wx)}{w} dw + \lim_{n\to \infty} \frac {1}{\pi}\int_{0}^{a} \frac {\sin (w-wx)}{w}dw \cdots (21)

 치환적분을 이용하여 (21)을 변형해 봅시다. (21) 우변의 첫번째 항은 w + wx = t로 치환하고, 두번째 항은 w - wx =s로 치환합시다. 식은 다음과 같아집니다.

f(x) = \lim_{a \to \infty} \frac {2}{\pi} \int_{0}^{a} \frac {\cos (wx) \sin w}{w}dw = \lim_{a\to \infty}\left[\frac {1}{\pi}\int_{0}^{(x+1)a}\frac {\sin t}{t}dt - \frac {1}{\pi}\int_{0}^{(x-1)a}\frac {\sin s}{s}ds\right] \cdots (22)

 (19)를 이용하면 (22)를 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

f(x) = \lim_{n\to \infty} \left[\frac {1}{\pi} \mathrm {Si}(a[x+1]) - \frac {1}{\pi} \mathrm {Si}(a[x-1])\right] \cdots (23)

 

46.2. Fourier Integral of Odd and Even Function.

 f(x)가 우함수이거나 기함수라면 푸리에 적분을 더 간단히 할 수 있습니다. f(x)가 우함수라면 B(w) = 0이 되므로 다음과 같이 간단해집니다.

f(x) = \int_{0}^{\infty} A(w)\cos (wx)dw,      A(w) = \frac {2}{\pi}\int_{0}^{\infty}f(v)\cos (wv)dv\cdots (24)

 (24)의 경우 코사인 항만 남아있기 때문에 푸리에 코사인 적분이라고도 합니다.

 f(x)가 기함수인경우 A(w) = 0이 됩니다. 다음과 같이 식을 쓸 수 있습니다.

f(x) = \int_{0}^{\infty} B(w)\sin (wx)dw,       B(w) = \frac {2}{\pi}\int_{0}^{\infty}f(v)\sin (wv)dv\cdots (25)

 (25)는 사인 항만 남아있기 때문에 푸리에 사인 적분이라고도 합니다.

 

이번 포스팅은 여기서 마치겠습니다. 다음 포스팅에서 Fourier Cosine and Sine Transforms. 에 대하여 다룰 예정입니다.

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