46. 푸리에 적분

46.1. Fourier Integral.

 주기 함수 $f(x)$를 푸리에 급수로 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

$f(x) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} a_n\cos \left(\frac {2n\pi}{p}x\right) + \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin\left(\frac {2n\pi}{p}x\right) \cdots (1)$

 하지만 $f(x)$가 주기 함수여야 성립하는 한계가 있습니다. $f(x)$가 주기의 크기가 매우 큰 함수라고 해봅시다. $f(x)$의 주기를 $p = 2L$이라 합시다. (1)은 다음과 같이 정리됩니다.

$f(x) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} a_n\cos \left(\frac {n\pi}{L}x\right) + \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin\left(\frac {n\pi}{L}x\right) \cdots (2)$

 계수는 다음과 같이 되겠습니다.

$a_0 = \frac {1}{2L}\int_{-L}^{L}f(x)dx \cdots (3)$

$a_n = \frac {1}{L}\int_{-L}^{L}f(x) \cos \left( \frac {n\pi}{L}x\right)dx \cdots (4)$

$b_n = \frac {1}{L}\int_{-L}^{L}f(x) \sin \left( \frac {n\pi}{L}x\right)dx \cdots (5)$

 $w_n = \frac {n\pi}{L}$이라 합시다. $w_{n+1} = \frac {(n+1)\pi}{L}$이되고, $\Delta w$는 다음과 같습니다.

$\Delta w = w_{n+1} - w_n = \frac {\pi}{L} \cdots (6)$

 (3), (4), (5)를 (2)에 대입하여 전체 식을 써봅시다. 계수식의 적분 변수를 $x$에서 $v$로 바꿉시다.

$\begin {matrix} f(x) &=& a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac {1}{L}\int_{-L}^{L}f(v)\cos\left(\frac {n\pi}{L}v\right)dv\cdot\cos \left(\frac {n\pi}{L}x\right) \\ &&+ \sum_{n=1}^{\infty} \frac {1}{L} \int_{-L}^{L}f(v)\sin \left(\frac {n\pi}{L}v\right)dv\cdot \sin\left(\frac {n\pi}{L}x\right) \end {matrix} \cdots (7)$

 매우 큰 주기를 가진다고 합시다. 즉 $L \to \infty$입니다. (3)에서 $L \to \infty$라면, $a_0 = 0$이 됩니다. (6)에서 $\lim_{n \to \infty} \Delta w = 0$입니다. $w_n \approx w_{n+1}$이므로, $w$로 씁시다. 또 (6)의 식을 바꾸면 다음과 같습니다.

$\frac {1}{L} = \frac {\Delta w}{\pi} \cdots (8)$

 (8)식을 이용하여 (2)를 정리하면 다음과 같습니다.

$\begin {matrix} f(x) &=& \lim_{\Delta w \to \infty} \frac {1}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \left[\int_{-\infty}^{\infty}f(v)\cos (w_n v)dv\right]\cos (w_n x)\Delta w \\ && + \frac {1}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \left[\int_{-\infty}^{\infty}f(v)\sin(w_n v)dv\right] \sin (w_n x) \Delta w \end {matrix} \cdots (9)$

 (9)의 대괄호 적분항을 다음과 같이 치환합시다.

$A(w) = \int_{-\infty}^{\infty}f(v)\cos (wv)dv \cdots (10)$

$B(w) = \int_{-\infty}^{\infty}f(v)\sin(wv)dv \cdots (11)$

 (10), (11)을 이용하여 (9)를 다음과 같이 간단히 쓸 수 있습니다.

$\begin {matrix} f(x) &=& \lim_{n \to \infty} \frac {1}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} A(w)\cos (w_n x)\Delta w \\ && + \frac {1}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} B(w)\sin (w_n x) \Delta w \end {matrix} \cdots (12)$

 정적분의 정의로 (12)식을 더 간단히 할 수 있습니다.

$f(x) = \frac {1}{\pi} \left[ \int_{0}^{\infty} A(w)\cos (wx)dw + \int_{0}^{\infty} B(w)\sin (wx)dw\right] \cdots (13)$

 (13)을 푸리에 적분이라고 합니다. 푸리에 적분은 주기 함수가 아닌 함수에도 적용할 수 있는 장점이 있습니다.

예제를 통해 함수를 푸리에 적분으로 나타내 봅시다.

 

Ex) $f(x) = \begin {cases} 1 & |x|<1 \\ 0 &|x|>1 \end {cases}$

 주어진 함수를 (10), (11)에 각각 대입해 봅시다.

$A(w) = \frac {1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty}f(v)\cos (wv)dv = \frac {1}{\pi} \int_{-1}^{1}\cos (wv)dv = \left(\frac {2\sin (wv)}{\pi w}\right)|_{0}^{1} = \frac {2\sin w}{\pi w} \cdots (14)$

$B(w) = \frac {1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty}f(v)\sin (wv) = \frac {1}{\pi} \int_{-1}^{1}\sin (wv)dv = 0 \cdots (15)$

 (14), (15)를 (13)에 대입해봅시다.

$f(x) = \frac {2}{\pi} \int_{0}^{\infty} \frac {\cos (wx) \sin w}{w} dw \cdots (16)$

 (16)의 적분값은 다음과 같습니다. 적분항만 가져옵니다.

$f(x) = \int_{0}^{\infty} \frac {\cos (wx) \sin w}{w} dw = \begin {cases} \frac {\pi}{2} & 0 \leq x <1 \\ \frac {\pi}{4} & x=1 \\ 0 &x>1 \end {cases} \cdots (17)$

 (17)에 $x = 0$을 대입하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

$\int_{0}^{\infty} \frac {\sin w}{w}dw = \frac {\pi}{2} \cdots (18)$

 (18)로 파생된 다음 함수를 Sine 적분이라 합니다. 다음과 같이 표기할 수 있습니다.

$\mathrm {Si}(u) = \int_{0}^{u}\frac {\sin w}{w}dw \cdots (19)$

 삼각함수의 곱을 합으로 바꾸는 공식을 이용해 봅시다.

$\sin x \cos y = \frac {1}{2}[\sin (x+y) + \sin (x - y)] \cdots (20)$

 (20)을 이용하여 (16)을 변형하면 다음과 같습니다.

$f(x) = \lim_{a \to \infty} \frac {2}{\pi} \int_{0}^{a} \frac {\cos (wx) \sin w}{w}dw = \lim_{n \to \infty} \frac {1}{\pi} \int_{0}^{a} \frac {\sin (w+wx)}{w} dw + \lim_{n\to \infty} \frac {1}{\pi}\int_{0}^{a} \frac {\sin (w-wx)}{w}dw \cdots (21)$

 치환적분을 이용하여 (21)을 변형해 봅시다. (21) 우변의 첫번째 항은 $w + wx = t$로 치환하고, 두번째 항은 $w - wx =s$로 치환합시다. 식은 다음과 같아집니다.

$f(x) = \lim_{a \to \infty} \frac {2}{\pi} \int_{0}^{a} \frac {\cos (wx) \sin w}{w}dw = \lim_{a\to \infty}\left[\frac {1}{\pi}\int_{0}^{(x+1)a}\frac {\sin t}{t}dt - \frac {1}{\pi}\int_{0}^{(x-1)a}\frac {\sin s}{s}ds\right] \cdots (22)$

 (19)를 이용하면 (22)를 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

$f(x) = \lim_{n\to \infty} \left[\frac {1}{\pi} \mathrm {Si}(a[x+1]) - \frac {1}{\pi} \mathrm {Si}(a[x-1])\right] \cdots (23)$

 

46.2. Fourier Integral of Odd and Even Function.

 $f(x)$가 우함수이거나 기함수라면 푸리에 적분을 더 간단히 할 수 있습니다. $f(x)$가 우함수라면 $B(w) = 0$이 되므로 다음과 같이 간단해집니다.

$f(x) = \int_{0}^{\infty} A(w)\cos (wx)dw$,      $A(w) = \frac {2}{\pi}\int_{0}^{\infty}f(v)\cos (wv)dv\cdots (24)$

 (24)의 경우 코사인 항만 남아있기 때문에 푸리에 코사인 적분이라고도 합니다.

 $f(x)$가 기함수인경우 $A(w) = 0$이 됩니다. 다음과 같이 식을 쓸 수 있습니다.

$f(x) = \int_{0}^{\infty} B(w)\sin (wx)dw$,       $B(w) = \frac {2}{\pi}\int_{0}^{\infty}f(v)\sin (wv)dv\cdots (25)$

 (25)는 사인 항만 남아있기 때문에 푸리에 사인 적분이라고도 합니다.

 

이번 포스팅은 여기서 마치겠습니다. 다음 포스팅에서 Fourier Cosine and Sine Transforms. 에 대하여 다룰 예정입니다.