44.1. Fourier Series.
자연수 n, 모든 x에 대해 다음 식을 만족하는 함수를 주기 함수라고 합니다.
f(x+np)=f(x)⋯(1)
(1)의 p를 주기 함수의 주기라고 합니다. 대표적인 주기 함수로 삼각 함수가 있습니다. 푸리에 급수는 주기 함수를 삼각 함수 형태로 나타내는 도구입니다. 임의의 주기 함수를 f(x)라 하면 f(x)의 푸리에 급수는 다음과 같습니다.
f(x)=a0+∑∞n=1(ancos(2nπpx)+bnsin(2nπpx))⋯(2)
(2)의 계수 a0, an, bn은 다음과 같습니다.
a0=1p∫p2−p2f(x)dx⋯(3)
an=2p∫p2−p2f(x)cos(2nπpx)dx⋯(4)
bn=2p∫p2−p2f(x)sin(2nπpx)dx⋯(5)
예제를 풀어봅시다.
Ex) f(x)=x,f(x)=f(x+2)의 푸리에 변환을 구하기.
주기를 먼저 구해봅시다. f(x)=f(x+2)이므로, 주기 p=2입니다. 푸리에 급수의 계수를 구해 봅시다. p를 (3)에 대입하여 구해봅시다.
a0=12∫1−1xdx=0⋯(6)
x는 기함수이고, 절댓값이 같고 부호가 다른 두 구간의 적분이므로 적분 값은 0입니다.
an=22∫1−1xcos(2nπ2x)dx=∫1−1xcos(nπx)dx=0⋯(7)
우함수와 기함수의 곱은 기함수이므로, 적분 값이 0입니다.
bn=22∫1−1xsin(2nπ2x)dx=2∫10xsin(nπx)dx=2(−xnπcos(nπx))|10+2∫10cos(nπx)nπdx=−2cos(nπ)nπ+2(sin(nπx)(nπ)2)|10=2⋅(−1)n+1nπ⋯(8)
기함수와 기함수의 곱은 우함수이고, 부분 적분법을 이용하여 적분합니다. cos(nπ)=(−1)n로도 쓸 수 있습니다.
(6), (7), (8)을 (2)에 대입합시다.
f(x)=0+∑∞n=10⋅cos(nπx)+∑∞n=12⋅(−1)n+1nπsin(nπx)=∑∞n=12⋅(−1)n+1nπsin(nπx)⋯(9)
Sol) f(x)=∑∞n=12⋅(−1)n+1nπsin(nπx)
44.2. Orthogonality of the Trigonometic System.
f(x)의 푸리에 급수는 다음과 같았습니다.
f(x)=a0+∑∞n=1(ancos(2nπpx)+bnsin(2nπpx))⋯(10)
(10)의 급수를 조금 풀어서 써 봅시다.
f(x)=a0+[a1cos(2⋅1⋅πpx)+a2cos(2⋅2⋅πpx)+⋯]+[b1sin(2⋅1⋅πpx)+b2sin(2⋅2⋅πpx)+⋯]⋯(11)
(10)의 계수 a0, an, bn을 구해 (3), (4), (5)를 유도해 봅시다.
삼각 함수 cos(2nπpx)를 생각해 봅시다. 이 함수의 주기를 다음과 같이 구할 수 있습니다.
period=2π2nπp=pn⋯(12)
cos(2nπpx)과 sin(2nπpx)의 적분을 계산해 봅시다.
∫p2−p2cos(2nπpx)dx=2∫p20cos(2nπpx)=2(sin(2nπpx)p2nπ)|p20=0⋯(13)
∫p2−p2sin(2nπpx)dx=0⋯(14)
사인 함수는 기함수이기 때문에 자명하게 0 임을 알 수 있습니다.
사인 함수와 코사인 함수로 이루어진 다음과 같은 적분이 성립합니다.
∫p2−p2cos(2mπpx)cos(2nπpx)dx={0(m≠n≠0)p2(m=n=0)p(m=n≠0)⋯(15)
∫p2−p2sin(2mπpx)sin(2nπpx)dx={0(m≠n)0(m=n=0)p2(m=n≠0)⋯(16)
∫p2−p2cos(2mπpx)sin(2nπpx)dx=0 (Regardless of m,n)(17)
(15), (16), (17)은 삼각함수의 곱을 합으로 바꾸는 공식을 이용하여 유도할 수 있습니다. 증명은 생략합니다.
이제 (11)의 양변을 x에 대하여 −p2에서 p2까지 정적분 합시다. 식은 다음과 같아집니다.
∫p2−p2f(x)dx=∫p2−p2a0dx+[a1∫p2−p2cos(2⋅1⋅πpx)dx+⋯]+[b1∫p2−p2sin(2⋅1⋅πpx)dx+⋯]⋯(18)
(13), (14)를 이용하여 (18)을 간단히 할 수 있습니다.
∫p2−p2f(x)dx=a0p⋯(19)
(19)을 정리하여 다음을 얻어낼 수 있습니다.
a0=1p∫p2−p2f(x)dx⋯(20)
(20)와 (3)이 같은 것을 확인할 수 있습니다.
이번에는 (11)의 양변에 cos(2⋅1⋅πpx)를 곱한 뒤 이전과 같은 구간에서 정적분해 봅시다.
∫p2−p2f(x)cos(2⋅1⋅πpx)dx=∫p2−p2a0cos(2⋅1⋅πpx)dx+[∫p2−p2a1cos2(2⋅1⋅πpx)dx+⋯]+[∫p2−p2b1cos(2⋅1⋅πpx)⋅sin(2⋅1⋅πpx)dx+⋯]⋯(21)
(15), (17)을 이용하여 (21)을 더 간단히 할 수 있습니다. a1이 있는 항을 제외하고 모두 0이 되고 다음과 같이 정리됩니다.
∫p2−p2f(x)cos(2⋅1⋅πpx)dx=a1⋅p2⋯(22)
(22)을 정리하여 a1을 구할 수 있습니다.
a1=2p∫p2−p2f(x)cos(2⋅1⋅πpx)dx⋯(23)
같은 방법으로 구해서 an으로 일반화 한 식은 다음과 같습니다.
an=2p∫p2−p2f(x)cos(2nπpx)dx⋯(24)
(24)과 (4)가 같음을 확인할 수 있습니다.
(11)의 양변에 sin(2⋅1⋅πpx)를 곱하고 같은 구간에서 정적분해봅시다.
∫p2−p2f(x)sin(2⋅1⋅πpx)dx=∫p2−p2a0sin(2⋅1⋅πpx)dx+[∫p2−p2a1cos(2⋅1⋅πpx)⋅sin(2⋅1⋅πpx)dx+⋯]+[∫p2−p2b1sin2(2⋅1⋅πpx)dx+⋯]⋯(25)
(16), (17)을 이용하여 (25)을 간단히 정리하면 다음과 같습니다.
∫p2−p2f(x)sin(2⋅1⋅πpx)dx=b1⋅p2⋯(26)
(26)를 정리하여 b1을 얻을 수 있습니다.
b1=2p∫p2−p2f(x)sin(2⋅1⋅πpx)dx⋯(27)
(27)를 일반화하여 bn을 구하면 다음과 같습니다.
bn=2p∫p2−p2f(x)sin(2nπpx)dx⋯(28)
(28)과 (5)가 같음을 확인할 수 있습니다.
이번 포스팅은 여기서 마무리하겠습니다. 다음 포스팅에서 Fourier Series of Even and Odd function. 에 대하여 작성할 예정입니다.
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