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전공 정리/공업수학

44. 푸리에 급수

by 꼬긔 2020. 6. 28.

44.1. Fourier Series.

 자연수 n, 모든 x에 대해 다음 식을 만족하는 함수를 주기 함수라고 합니다.

f(x+np)=f(x)(1)

 (1)의 p를 주기 함수의 주기라고 합니다. 대표적인 주기 함수로 삼각 함수가 있습니다. 푸리에 급수는 주기 함수를 삼각 함수 형태로 나타내는 도구입니다. 임의의 주기 함수를 f(x)라 하면 f(x)의 푸리에 급수는 다음과 같습니다.

f(x)=a0+n=1(ancos(2nπpx)+bnsin(2nπpx))(2)

 (2)의 계수 a0, an, bn은 다음과 같습니다.

a0=1pp2p2f(x)dx(3)

an=2pp2p2f(x)cos(2nπpx)dx(4)

bn=2pp2p2f(x)sin(2nπpx)dx(5)

 예제를 풀어봅시다.

 

Ex) f(x)=x,f(x)=f(x+2)의 푸리에 변환을 구하기.

 주기를 먼저 구해봅시다. f(x)=f(x+2)이므로, 주기 p=2입니다. 푸리에 급수의 계수를 구해 봅시다. p를 (3)에 대입하여 구해봅시다.

a0=1211xdx=0(6)

 x는 기함수이고, 절댓값이 같고 부호가 다른 두 구간의 적분이므로 적분 값은 0입니다.

an=2211xcos(2nπ2x)dx=11xcos(nπx)dx=0(7)

 우함수와 기함수의 곱은 기함수이므로, 적분 값이 0입니다.

bn=2211xsin(2nπ2x)dx=210xsin(nπx)dx=2(xnπcos(nπx))|10+210cos(nπx)nπdx=2cos(nπ)nπ+2(sin(nπx)(nπ)2)|10=2(1)n+1nπ(8)

 기함수와 기함수의 곱은 우함수이고, 부분 적분법을 이용하여 적분합니다. cos(nπ)=(1)n로도 쓸 수 있습니다.

(6), (7), (8)을 (2)에 대입합시다.

f(x)=0+n=10cos(nπx)+n=12(1)n+1nπsin(nπx)=n=12(1)n+1nπsin(nπx)(9)

 

 Sol) f(x)=n=12(1)n+1nπsin(nπx)

 

44.2. Orthogonality of the Trigonometic System.

 f(x)의 푸리에 급수는 다음과 같았습니다.

f(x)=a0+n=1(ancos(2nπpx)+bnsin(2nπpx))(10)

 (10)의 급수를 조금 풀어서 써 봅시다.

f(x)=a0+[a1cos(21πpx)+a2cos(22πpx)+]+[b1sin(21πpx)+b2sin(22πpx)+](11)

 (10)의 계수 a0, an, bn을 구해 (3), (4), (5)를 유도해 봅시다.

삼각 함수 cos(2nπpx)를 생각해 봅시다. 이 함수의 주기를 다음과 같이 구할 수 있습니다.

period=2π2nπp=pn(12)

 cos(2nπpx)sin(2nπpx)의 적분을 계산해 봅시다.

p2p2cos(2nπpx)dx=2p20cos(2nπpx)=2(sin(2nπpx)p2nπ)|p20=0(13)

 p2p2sin(2nπpx)dx=0(14)

 사인 함수는 기함수이기 때문에 자명하게 0 임을 알 수 있습니다.

 사인 함수와 코사인 함수로 이루어진 다음과 같은 적분이 성립합니다.

p2p2cos(2mπpx)cos(2nπpx)dx={0(mn0)p2(m=n=0)p(m=n0)(15)

p2p2sin(2mπpx)sin(2nπpx)dx={0(mn)0(m=n=0)p2(m=n0)(16)

p2p2cos(2mπpx)sin(2nπpx)dx=0  (Regardless of m,n)(17)

 (15), (16), (17)은 삼각함수의 곱을 합으로 바꾸는 공식을 이용하여 유도할 수 있습니다. 증명은 생략합니다.

이제 (11)의 양변을 x에 대하여 p2에서 p2까지 정적분 합시다. 식은 다음과 같아집니다.

p2p2f(x)dx=p2p2a0dx+[a1p2p2cos(21πpx)dx+]+[b1p2p2sin(21πpx)dx+](18)

 (13), (14)를 이용하여 (18)을 간단히 할 수 있습니다.

p2p2f(x)dx=a0p(19)

 (19)을 정리하여 다음을 얻어낼 수 있습니다.

a0=1pp2p2f(x)dx(20)

 (20)와 (3)이 같은 것을 확인할 수 있습니다.

이번에는 (11)의 양변에 cos(21πpx)를 곱한 뒤 이전과 같은 구간에서 정적분해 봅시다.

p2p2f(x)cos(21πpx)dx=p2p2a0cos(21πpx)dx+[p2p2a1cos2(21πpx)dx+]+[p2p2b1cos(21πpx)sin(21πpx)dx+](21)

 (15), (17)을 이용하여 (21)을 더 간단히 할 수 있습니다. a1이 있는 항을 제외하고 모두 0이 되고 다음과 같이 정리됩니다.

p2p2f(x)cos(21πpx)dx=a1p2(22)

 (22)을 정리하여 a1을 구할 수 있습니다.

a1=2pp2p2f(x)cos(21πpx)dx(23)

 같은 방법으로 구해서 an으로 일반화 한 식은 다음과 같습니다.

an=2pp2p2f(x)cos(2nπpx)dx(24)

 (24)과 (4)가 같음을 확인할 수 있습니다.

 (11)의 양변에 sin(21πpx)를 곱하고 같은 구간에서 정적분해봅시다.

p2p2f(x)sin(21πpx)dx=p2p2a0sin(21πpx)dx+[p2p2a1cos(21πpx)sin(21πpx)dx+]+[p2p2b1sin2(21πpx)dx+](25)

 (16), (17)을 이용하여 (25)을 간단히 정리하면 다음과 같습니다.

p2p2f(x)sin(21πpx)dx=b1p2(26)

 (26)를 정리하여 b1을 얻을 수 있습니다.

b1=2pp2p2f(x)sin(21πpx)dx(27)

 (27)를 일반화하여 bn을 구하면 다음과 같습니다.

bn=2pp2p2f(x)sin(2nπpx)dx(28)

 (28)과 (5)가 같음을 확인할 수 있습니다.

 

 이번 포스팅은 여기서 마무리하겠습니다. 다음 포스팅에서 Fourier Series of Even and Odd function. 에 대하여 작성할 예정입니다.

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