43. 스토크스(Stokes) 정리

 43.1. Stokes' Theorem.

  선적분과 이중적분을 바꾸어주는 도구가 Green 정리였고, 면적분과 삼중적분을 바꾸어 주는 도구가 발산 정리였습니다. Stokes 정리는 선적분과 면적분을 서로 바꾸어주는 도구입니다. 곡면 $S$가 공간에 존재하고 $S$의 경계 곡선을 $C$라고 합시다. $S$에서 연속인 벡터 함수 $\mathbf {F}$가 존재하고 $\mathbf {F}$의 편도함수도 연속 함수라고 하면 Stokes 정리는 다음과 같습니다.

 $\int \int_{S} (\nabla \times \mathbf {F}) \cdot \mathbf {n} dA = \oint_{C} \mathbf {F} \cdot \mathbf {r}'(s) ds \cdots (1)$

 (1)의 $\mathbf {n}$은 $S$의 단위 법선 벡터이고, $s$는 $C$의 길이입니다. (1)을 성분으로 나타내 봅시다. (1)의 좌변은 면적분항입니다. 면적분의 성분 표현은 다음과 같았습니다.

$\int \int_{S} \mathbf {G} \cdot \mathbf {n} dA = \int \int_{R} (G_1N_1 + G_2N_2 + G_3N_3)dudv \cdots (2)$

 (1)의 좌변은 (2)의 $\mathbf {G} = \nabla \times \mathbf {F}$인 경우입니다. 외적을 계산하면 다음과 같습니다.

$\begin {matrix} \mathbf {G} = \nabla \times \mathbf {F} &=& \left( \frac {\partial F_3}{\partial y} - \frac {\partial F_2}{\partial z}\right)\mathbf {i} - \left(\frac {\partial F_3}{\partial x} - \frac {\partial F_1}{\partial z}\right)\mathbf {j} + \left(\frac {\partial F_2}{\partial x} - \frac {\partial F_1}{\partial y}\right)\mathbf {k} \\ &=& \left [\left( \frac {\partial F_3}{\partial y} - \frac {\partial F_2}{\partial z}\right), \left(\frac {\partial F_3}{\partial x} - \frac {\partial F_1}{\partial z}\right), \left(\frac {\partial F_2}{\partial x} - \frac {\partial F_1}{\partial y}\right)\right] \\ &=& [G_1, G_2, G_3] \end {matrix} \cdots (3)$

 (3)을 (2)에 대입하면 다음과 같습니다.

$\int \int_{S} \mathbf {G} \cdot \mathbf {n} dA = \int \int_{R} \left[\left( \frac {\partial F_3}{\partial y} - \frac {\partial F_2}{\partial z}\right) N_1 - \left(\frac {\partial F_3}{\partial x} - \frac {\partial F_1}{\partial z}\right) N_2 + \left(\frac {\partial F_2}{\partial x} - \frac {\partial F_1}{\partial y}\right) N_3\right] dudv \cdots (4)$

 선적분의 성분 표현은 다음과 같습니다.

$\oint_{C} \mathbf {F}\cdot \mathbf {r}'(s)ds = \oint_{C'}(F_1dx + F_2dy + F_3dz) \cdots (5)$

 이때 $C'$은 $uv$평면에 나타난 적분 영역 $R$의 경계 곡선 부분입니다. (4)와 (5)를 같이 쓰면 Stokes 정리의 성분 표현이 되겠습니다.

$\int \int_{R} \left[\left( \frac {\partial F_3}{\partial y} - \frac {\partial F_2}{\partial z}\right) N_1 - \left(\frac {\partial F_3}{\partial x} - \frac {\partial F_1}{\partial z}\right) N_2 + \left(\frac {\partial F_2}{\partial x} - \frac {\partial F_1}{\partial y}\right) N_3\right] dudv = \oint_{C'}(F_1dx + F_2dy + F_3dz) \cdots (6)$

 예제를 풀어봅시다.

 

 Ex) $\mathbf {F} = [y,z,x]$이고 $S : z = f(x, y) = 1 - (x^2 + y^2),\ z \geq 0$일 때 Stokes 정리를 확인해 봅시다.

 (1)의 좌변으로 먼저 계산해봅시다. $\nabla \times \mathbf {F}$을 먼저 구해봅시다.

$\nabla \times \mathbf {F} = \begin {vmatrix} \mathbf {i} & \mathbf {j} & \mathbf {k} \\ \frac {\partial}{\partial x} & \frac {\partial}{\partial y} & \frac {\partial}{\partial z} \\ y & z & x \end {vmatrix} = -\mathbf {i} - \mathbf {j} - \mathbf {k} = [-1, -1, -1] \cdots (7)$

 법선 벡터를 구해봅시다. 곡면의 법선 벡터는 Gradient로 구할 수 있습니다. $z - f(x, y) = 0$을 Gradient 해봅시다.

$\mathbf {N} = \nabla (z - f(x,y)) = [2x,2y,1] \cdots (8)$

 (7)과 (8)을 내적해 봅시다.

$(\nabla \times \mathbf {F})\cdot \mathbf {N} = [-1,-1,-1]\cdot [2x,2y,1] = -2x-2y-1 \cdots (9)$

 (1)의 좌변에 식을 대입해 봅시다. $x=u$ , $y=v$라 하면 다음과 같이도 쓸 수 있습니다.

$\int \int_{S} (\nabla \times \mathbf {F})\cdot \mathbf {n}dA = \int \int_{R} (\nabla \times \mathbf {F})\cdot \mathbf {N} dxdy = \int \int_{R} (-2x-2y-1) dxdy \cdots (10)$

 (10)의 적분을 쉽게하기 위해 직교좌표계에서 원통좌표계로 바꾸어봅시다. $x = r\cos \theta$, $y = r\sin \theta$라 합시다. 적분 범위는 $0\leq r \leq 1$, $0 \leq \theta \leq 2\pi$가 되고, $dxdy = rdrd\theta$입니다. 이중적분을 계산해봅시다.

 $\begin {matrix} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1}(-2r^2(\cos \theta + \sin \theta) - r)drd\theta &=& \int_{0}^{2\pi}\left(-\frac {2r^3}{3} (\cos \theta + \sin \theta)-\frac {r^2}{2} \right)|_{0}^{1} d\theta \\ &=& \int_{0}^{2\pi} \left( - \frac {2}{3}(\cos \theta + \sin \theta) - \frac {1}{2}\right) d\theta \\ &=& \left(-\frac {2}{3}(\sin \theta - \cos \theta) - \frac {1}{2}\theta\right)|_{0}^{2\pi} \\ &=& -\pi \end {matrix} \cdots (11)$

 이번에는 (1)의 우변으로 계산해 봅시다. 곡선 $C$는 $S$의 경계 곡선이고, 그 경계의 방정식은 $x^2 + y^2 = 1,\ z=0$인 원입니다. 이 원의 위치 벡터를 $\mathbf {r}(s)$라 하면 다음과 같습니다.

$\mathbf {r}(s) = [\cos s, \sin s,0] \cdots (12)$

 (12)를 미분해 봅시다.

$\mathbf {r}'(s) = [-\sin s , \cos s, 0] \cdots (13)$

 (12)를 $\mathbf {F}$에 대입하여 \mathbf {F}(\mathbf {r}(s))$를 구합니다.

$\mathbf {F}(\mathbf {r}(s)) = [\sin s , 0, \cos s] \cdots (14)$

 (1)의 우변에 (13)과 (14)를 대입합시다. 적분구간은 $0\leq s \leq 2\pi$가 되겠습니다.

$\begin {matrix} \oint_{C} \mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} &=& \oint_{C} \mathbf {F}(\mathbf {r}(s))\cdot \mathbf {r}'(s) ds \\ &=& \int_{0}^{2\pi} [\sin s,0,\cos s] \cdot [-\sin s, \cos s, 0] ds \\ &=& \int_{0}^{2\pi} (-\sin^2 s) ds \\ &=& -\left(\frac {1}{2} s - \frac {\sin (2s)}{4}\right)|_{0}^{2\pi} \\ &=& -\pi \end {matrix} \cdots (15)$

 (11)과 (15)의 결과를 비교하면, Stokes 정리가 성립함을 확인할 수 있습니다.

 

 이번 포스팅은 여기서 마치겠습니다. 이번 포스팅으로 벡터 미적분 부분이 끝났네요. 다음 포스팅부터 푸리에 해석에 대한 내용을 작성할 예정입니다.