44. 푸리에 급수

44.1. Fourier Series.

 자연수 $n$, 모든 $x$에 대해 다음 식을 만족하는 함수를 주기 함수라고 합니다.

$f(x+np) = f(x) \cdots (1)$

 (1)의 $p$를 주기 함수의 주기라고 합니다. 대표적인 주기 함수로 삼각 함수가 있습니다. 푸리에 급수는 주기 함수를 삼각 함수 형태로 나타내는 도구입니다. 임의의 주기 함수를 $f(x)$라 하면 $f(x)$의 푸리에 급수는 다음과 같습니다.

$f(x) = a_0 + \sum_{n = 1}^{\infty} \left(a_n\cos \left(\frac {2n\pi}{p}x\right) + b_n \sin \left(\frac {2n\pi}{p}x\right)\right) \cdots (2)$

 (2)의 계수 $a_0$, $a_n$, $b_n$은 다음과 같습니다.

$a_0 = \frac {1}{p} \int_{-\frac {p}{2}}^{\frac {p}{2}} f(x)dx \cdots (3)$

$a_n = \frac {2}{p} \int_{-\frac {p}{2}}^{\frac {p}{2}} f(x)\cos \left(\frac {2n\pi}{p}x\right)dx \cdots (4)$

$b_n = \frac {2}{p} \int_{-\frac {p}{2}}^{\frac {p}{2}} f(x)\sin \left(\frac {2n\pi}{p}x\right)dx \cdots (5)$

 예제를 풀어봅시다.

 

Ex) $f(x) = x,\qquad f(x) = f(x+2)$의 푸리에 변환을 구하기.

 주기를 먼저 구해봅시다. $f(x) = f(x+2)$이므로, 주기 $p = 2$입니다. 푸리에 급수의 계수를 구해 봅시다. $p$를 (3)에 대입하여 구해봅시다.

$a_0 = \frac {1}{2}\int_{-1}^{1} xdx = 0 \cdots (6)$

 $x$는 기함수이고, 절댓값이 같고 부호가 다른 두 구간의 적분이므로 적분 값은 0입니다.

$a_n = \frac {2}{2}\int_{-1}^{1} x\cos \left(\frac {2n\pi}{2}x\right)dx = \int_{-1}^{1} x\cos (n\pi x)dx = 0\cdots(7)$

 우함수와 기함수의 곱은 기함수이므로, 적분 값이 0입니다.

$\begin {matrix} b_n &=& \frac {2}{2}\int_{-1}^{1} x\sin \left(\frac {2n\pi}{2}x\right)dx \\ &=& 2\int_{0}^{1} x\sin (n\pi x)dx \\ &=& 2\left(-\frac {x}{n\pi} \cos (n\pi x)\right)|_{0}^{1} + 2\int_{0}^{1} \frac {\cos (n\pi x)}{n\pi}dx \\ &=& -\frac {2\cos (n\pi)}{n\pi} + 2\left(\frac {\sin (n\pi x)}{(n\pi)^2}\right)|_{0}^{1} \\ &=& \frac {2\cdot(-1)^{n+1}}{n\pi} \end {matrix} \cdots (8)$

 기함수와 기함수의 곱은 우함수이고, 부분 적분법을 이용하여 적분합니다. $\cos (n\pi) = (-1)^n$로도 쓸 수 있습니다.

(6), (7), (8)을 (2)에 대입합시다.

$f(x) = 0 + \sum_{n=1}^{\infty} 0 \cdot \cos(n\pi x) + \sum_{n=1}^{\infty} \frac {2\cdot(-1)^{n+1}}{n\pi}\sin(n\pi x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac {2\cdot(-1)^{n+1}}{n\pi} \sin (n\pi x) \cdots (9)$

 

 Sol) $f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac {2\cdot(-1)^{n+1}}{n\pi} \sin (n\pi x)$

 

44.2. Orthogonality of the Trigonometic System.

 $f(x)$의 푸리에 급수는 다음과 같았습니다.

$f(x) = a_0 + \sum_{n = 1}^{\infty} \left(a_n\cos \left(\frac {2n\pi}{p}x\right) + b_n \sin \left(\frac {2n\pi}{p}x\right)\right) \cdots (10)$

 (10)의 급수를 조금 풀어서 써 봅시다.

$\begin {matrix} f(x) &=& a_0 + \left[ a_1 \cos \left(\frac {2\cdot 1 \cdot \pi}{p}x\right) + a_2\cos\left(\frac {2\cdot 2\cdot \pi}{p}x\right) + \cdots \right] \\ &&+ \left[ b_1 \sin \left(\frac {2\cdot 1 \cdot \pi}{p} x\right) + b_2 \sin \left(\frac {2\cdot 2\cdot \pi}{p}x\right) + \cdots \right] \end {matrix} \cdots (11)$

 (10)의 계수 $a_0$, $a_n$, $b_n$을 구해 (3), (4), (5)를 유도해 봅시다.

삼각 함수 $\cos \left(\frac {2n\pi}{p}x\right)$를 생각해 봅시다. 이 함수의 주기를 다음과 같이 구할 수 있습니다.

$period = \frac {2\pi}{\frac {2n\pi}{p}} = \frac {p}{n} \cdots (12)$

 $\cos \left(\frac {2n\pi}{p}x\right)$과 $\sin \left(\frac {2n\pi}{p}x\right)$의 적분을 계산해 봅시다.

$\int_{-\frac {p}{2}}^{\frac {p}{2}} \cos \left(\frac {2n\pi}{p}x\right)dx = 2\int_{0}^{\frac {p}{2}} \cos \left(\frac {2n\pi}{p}x\right) = 2\left(\frac {\sin \left(\frac {2n\pi}{p}x\right)}{\frac {p}{2n\pi}}\right)|_{0}^{\frac {p}{2}} = 0 \cdots (13)$

 $\int_{-\frac {p}{2}}^{\frac {p}{2}} \sin \left(\frac {2n\pi}{p}x\right)dx = 0 \cdots (14)$

 사인 함수는 기함수이기 때문에 자명하게 0 임을 알 수 있습니다.

 사인 함수와 코사인 함수로 이루어진 다음과 같은 적분이 성립합니다.

$\int_{-\frac {p}{2}}^{\frac {p}{2}} \cos \left(\frac {2m\pi}{p}x\right) \cos \left(\frac {2n\pi}{p}x\right)dx = \begin {cases} 0 & (m \neq n \neq 0) \\ \frac {p}{2} & (m=n=0) \\ p & (m = n \neq 0) \end {cases} \cdots (15)$

$\int_{-\frac {p}{2}}^{\frac {p}{2}} \sin \left(\frac {2m\pi}{p}x\right) \sin \left(\frac {2n\pi}{p}x\right)dx = \begin {cases} 0 & (m \neq n) \\ 0 & (m=n=0) \\ \frac {p}{2} & (m = n \neq 0) \end {cases} \cdots (16)$

$\int_{-\frac {p}{2}}^{\frac {p}{2}} \cos \left(\frac {2m\pi}{p}x\right) \sin \left(\frac {2n\pi}{p}x\right)dx = 0 \ \ (\mbox{Regardless of}\ m,n) (17)$

 (15), (16), (17)은 삼각함수의 곱을 합으로 바꾸는 공식을 이용하여 유도할 수 있습니다. 증명은 생략합니다.

이제 (11)의 양변을 $x$에 대하여 $-\frac {p}{2}$에서 $\frac {p}{2}$까지 정적분 합시다. 식은 다음과 같아집니다.

$\int_{-\frac {p}{2}}^{\frac {p}{2}} f(x)dx = \int_{-\frac {p}{2}}^{\frac {p}{2}} a_0dx + \left[a_1\int_{-\frac {p}{2}}^{\frac {p}{2}} \cos \left(\frac {2\cdot 1\cdot \pi}{p}x\right)dx + \cdots \right] + \left[b_1\int_{-\frac {p}{2}}^{\frac {p}{2}} \sin \left(\frac {2\cdot 1\cdot \pi}{p}x\right)dx + \cdots\right] \cdots (18)$

 (13), (14)를 이용하여 (18)을 간단히 할 수 있습니다.

$\int_{-\frac {p}{2}}^{\frac {p}{2}} f(x)dx = a_0p \cdots (19)$

 (19)을 정리하여 다음을 얻어낼 수 있습니다.

$a_0 = \frac {1}{p} \int_{-\frac {p}{2}}^{\frac {p}{2}} f(x)dx \cdots (20)$

 (20)와 (3)이 같은 것을 확인할 수 있습니다.

이번에는 (11)의 양변에 $\cos \left(\frac {2\cdot 1 \cdot \pi}{p}x\right)$를 곱한 뒤 이전과 같은 구간에서 정적분해 봅시다.

$\begin {matrix} \int_{-\frac {p}{2}}^{\frac {p}{2}} f(x)\cos \left(\frac {2\cdot 1 \cdot \pi}{p}x\right)dx &=& \int_{-\frac {p}{2}}^{\frac {p}{2}} a_0 \cos \left(\frac {2\cdot 1 \cdot \pi}{p}x\right)dx + \left[\int_{-\frac {p}{2}}^{\frac {p}{2}} a_1 \cos^2 \left(\frac {2\cdot 1 \cdot \pi}{p}x\right)dx + \cdots \right] \\ &&+ \left[\int_{-\frac {p}{2}}^{\frac {p}{2}} b_1\cos \left(\frac {2\cdot 1\cdot \pi}{p}x\right)\cdot \sin \left(\frac {2\cdot 1\cdot \pi}{p}x\right)dx + \cdots\right] \end {matrix}\cdots (21)$

 (15), (17)을 이용하여 (21)을 더 간단히 할 수 있습니다. $a_1$이 있는 항을 제외하고 모두 0이 되고 다음과 같이 정리됩니다.

$\int_{-\frac {p}{2}}^{\frac {p}{2}} f(x)\cos \left(\frac {2\cdot 1 \cdot \pi}{p}x\right)dx = a_1 \cdot \frac {p}{2} \cdots (22)$

 (22)을 정리하여 $a_1$을 구할 수 있습니다.

$a_1 = \frac {2}{p} \int_{-\frac {p}{2}}^{\frac {p}{2}} f(x)\cos \left(\frac {2\cdot 1 \cdot \pi}{p}x\right)dx \cdots (23)$

 같은 방법으로 구해서 $a_n$으로 일반화 한 식은 다음과 같습니다.

$a_n = \frac {2}{p} \int_{-\frac {p}{2}}^{\frac {p}{2}} f(x)\cos \left(\frac {2n\pi}{p}x\right)dx \cdots (24)$

 (24)과 (4)가 같음을 확인할 수 있습니다.

 (11)의 양변에 $\sin \left(\frac {2\cdot 1 \cdot \pi}{p}x\right)$를 곱하고 같은 구간에서 정적분해봅시다.

$\begin {matrix} \int_{-\frac {p}{2}}^{\frac {p}{2}} f(x)\sin \left(\frac {2\cdot 1 \cdot \pi}{p}x\right)dx &=& \int_{-\frac {p}{2}}^{\frac {p}{2}} a_0 \sin \left(\frac {2\cdot 1 \cdot \pi}{p}x\right)dx \\ &&+ \left[\int_{-\frac {p}{2}}^{\frac {p}{2}} a_1 \cos \left(\frac {2\cdot 1 \cdot \pi}{p}x\right)\cdot \sin \left(\frac {2\cdot 1\cdot \pi}{p}x\right)dx + \cdots \right] \\ &&+ \left[\int_{-\frac {p}{2}}^{\frac {p}{2}} b_1\sin^2 \left(\frac {2\cdot 1\cdot \pi}{p}x\right)dx + \cdots\right] \end {matrix}\cdots (25)$

 (16), (17)을 이용하여 (25)을 간단히 정리하면 다음과 같습니다.

$\int_{-\frac {p}{2}}^{\frac {p}{2}} f(x)\sin \left(\frac {2\cdot 1 \cdot \pi}{p}x\right)dx = b_1 \cdot \frac {p}{2} \cdots (26)$

 (26)를 정리하여 $b_1$을 얻을 수 있습니다.

$b_1 = \frac {2}{p}\int_{-\frac {p}{2}}^{\frac {p}{2}} f(x) \sin \left(\frac {2\cdot 1 \cdot \pi}{p}x\right)dx \cdots (27)$

 (27)를 일반화하여 $b_n$을 구하면 다음과 같습니다.

$b_n = \frac {2}{p}\int_{-\frac {p}{2}}^{\frac {p}{2}} f(x) \sin \left(\frac {2n\pi}{p}x\right)dx \cdots (28)$

 (28)과 (5)가 같음을 확인할 수 있습니다.

 

 이번 포스팅은 여기서 마무리하겠습니다. 다음 포스팅에서 Fourier Series of Even and Odd function. 에 대하여 작성할 예정입니다.