f(x)의 푸리에 급수를 써봅시다.
f(x)=a0+∞∑n=1ancos(2nπpx)+∞∑n=1bnsin(2nπpx)⋯(1)
a0=1p∫p2−p2f(x)dx⋯(2)
an=2p∫p2−p2f(x)cos(2nπpx)dx⋯(3)
bn=2p∫p2−p2f(x)sin(2nπpx)dx⋯(4)
f(x)가 우함수라면, 다음 식이 성립합니다.
∫q−qf(x)dx=2∫q0f(x)dx⋯(5)
f(x)가 기함수라면, 다음 식이 성립합니다.
∫q−qf(x)dx=0⋯(6)
그리고 우함수, 기함수로만 구성된 곱셈은 다음이 성립합니다. f를 우함수, g를 기함수라 하면
{f⋅f=ff⋅g=gg⋅g=f⋯(7)
f(x)가 우함수일 때 푸리에 급수를 간단히 나타내봅시다. 사인 함수는 우함수이므로, (7)을 참고하면 (4)의 전체 적분 함수는 우함수와 기함수의 곱이므로 기함수가 됩니다. (6)에 따라 bn은 다음과 같습니다.
bn=0⋯(8)
코사인 함수는 우함수입니다. (7)에서 우함수와 우함수의 곱은 우함수이므로, (3)의 전체 적분 함수는 우함수입니다. 따라서 an을 다음과 같이 정리할 수 있습니다.
an=4p∫p20f(x)cos(2nπpx)dx⋯(9)
같은 방법으로 a0는 다음과 같이 정리할 수 있습니다.
a0=2p∫p20f(x)dx⋯(10)
(8), (9), (10)을 종합하면 우함수의 푸리에 급수는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
f(x)=a0+∑∞n=1ancos(2nπpx)=2p∫p20f(x)dx+∑∞n=1[4p∫p20f(x)cos(2nπpx)dx]cos(2nπpx)⋯(11)
이번에는 f(x)가 기함수일 때 푸리에 급수를 구해 봅시다.
(7)을 참고하면 (2)의 적분 함수는 기함수, (3)의 적분 함수는 기함수, (4)의 적분 함수는 우함수가 됩니다. 각각을 정리하면 다음과 같아집니다.
a0=0⋯(12)
an=0⋯(13)
bn=4p∫p20f(x)sin(2nπpx)dx⋯(14)
(12), (13), (14)를 (1)에 대입하면 f(x)가 기함수일 때 푸리에 급수는 다음과 같이 정리할 수 있습니다.
f(x)=∞∑n=1bnsin(2nπpx)=∞∑n=1[4p∫p20f(x)sin(2nπpx)dx]sin(2nπpx)⋯(15)
예제를 풀어봅시다.
Ex) f(x)=1−x24(−2<x<2), p=4일 때, 푸리에 급수를 구해봅시다.
주어진 함수 f(x)는 우함수입니다. 즉, (11)식을 이용하면 됩니다. a0를 구해봅시다. (10)에 대입하면 다음과 같습니다.
a0=12∫20(1−x24)dx=12(x−x312)|20=12(2−812)−0=23⋯(16)
(9)를 이용하여 an을 구해봅시다. 주어진 조건을 대입하면 다음과 같습니다.
an=44∫420(1−x24)⋅cos(2nπ4x)dx=∫20(1−x24)⋅cos(nπ2x)dx⋯(17)
부분적분법을 이용하여 (17)을 계산해 봅시다.
an=∫20(1−x24)⋅cos(nπ2x)dx=[(1−x24)⋅2nπsin(nπ2x)]|20−∫20(−x2)⋅2nπsin(nπ2x)dx=(0−0)+[−x2⋅(2nπ)2cos(nπ2x)]|20−∫2012⋅(2nπ)2cos(nπ2x)dx=(−1)⋅4(nπ)2⋅cos(nπ)−4(nπ)3[sin(nπ2x)]|20=(−1)⋅4(nπ)2⋅(−1)n−(0−0)=4⋅(−1)n+1(nπ)2⋯(18)
(16), (18)을 (11)에 대입합시다.
f(x)=a0+∞∑n=1ancos(2nπpx)=23+∞∑n=14⋅(−1)n+1(nπ)2⋅cos(nπ2x)⋯(19)
Sol) f(x)=23+∞∑n=14⋅(−1)n+1(nπ)2⋅cos(nπ2x)
이번 포스팅은 여기서 마치겠습니다. 다음 포스팅에서 Fourier Integral. 에 대하여 다룰 예정입니다.
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