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전공 정리/공업수학

45. 우함수와 기함수의 푸리에 급수

by 꼬긔 2020. 6. 28.

 

 f(x)의 푸리에 급수를 써봅시다.

f(x)=a0+n=1ancos(2nπpx)+n=1bnsin(2nπpx)(1)

a0=1pp2p2f(x)dx(2)

an=2pp2p2f(x)cos(2nπpx)dx(3)

bn=2pp2p2f(x)sin(2nπpx)dx(4)

 f(x)가 우함수라면, 다음 식이 성립합니다.

qqf(x)dx=2q0f(x)dx(5)

 f(x)가 기함수라면, 다음 식이 성립합니다.

qqf(x)dx=0(6)

 그리고 우함수, 기함수로만 구성된 곱셈은 다음이 성립합니다. f를 우함수, g를 기함수라 하면

{ff=ffg=ggg=f(7)

 f(x)가 우함수일 때 푸리에 급수를 간단히 나타내봅시다. 사인 함수는 우함수이므로, (7)을 참고하면 (4)의 전체 적분 함수는 우함수와 기함수의 곱이므로 기함수가 됩니다. (6)에 따라 bn은 다음과 같습니다.

bn=0(8)

 코사인 함수는 우함수입니다. (7)에서 우함수와 우함수의 곱은 우함수이므로, (3)의 전체 적분 함수는 우함수입니다. 따라서 an을 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

an=4pp20f(x)cos(2nπpx)dx(9)

 같은 방법으로 a0는 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

a0=2pp20f(x)dx(10)

 (8), (9), (10)을 종합하면 우함수의 푸리에 급수는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

f(x)=a0+n=1ancos(2nπpx)=2pp20f(x)dx+n=1[4pp20f(x)cos(2nπpx)dx]cos(2nπpx)(11)

 이번에는 f(x)가 기함수일 때 푸리에 급수를 구해 봅시다.

 (7)을 참고하면 (2)의 적분 함수는 기함수, (3)의 적분 함수는 기함수, (4)의 적분 함수는 우함수가 됩니다. 각각을 정리하면 다음과 같아집니다.

a0=0(12)

an=0(13)

bn=4pp20f(x)sin(2nπpx)dx(14)

 (12), (13), (14)를 (1)에 대입하면 f(x)가 기함수일 때 푸리에 급수는 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

f(x)=n=1bnsin(2nπpx)=n=1[4pp20f(x)sin(2nπpx)dx]sin(2nπpx)(15)

 예제를 풀어봅시다.

 

 Ex) f(x)=1x24(2<x<2), p=4일 때, 푸리에 급수를 구해봅시다.

 주어진 함수 f(x)는 우함수입니다. 즉, (11)식을 이용하면 됩니다. a0를 구해봅시다. (10)에 대입하면 다음과 같습니다.

a0=1220(1x24)dx=12(xx312)|20=12(2812)0=23(16)

 (9)를 이용하여 an을 구해봅시다. 주어진 조건을 대입하면 다음과 같습니다.

an=44420(1x24)cos(2nπ4x)dx=20(1x24)cos(nπ2x)dx(17)

 부분적분법을 이용하여 (17)을 계산해 봅시다.

an=20(1x24)cos(nπ2x)dx=[(1x24)2nπsin(nπ2x)]|2020(x2)2nπsin(nπ2x)dx=(00)+[x2(2nπ)2cos(nπ2x)]|202012(2nπ)2cos(nπ2x)dx=(1)4(nπ)2cos(nπ)4(nπ)3[sin(nπ2x)]|20=(1)4(nπ)2(1)n(00)=4(1)n+1(nπ)2(18)

 (16), (18)을 (11)에 대입합시다.

f(x)=a0+n=1ancos(2nπpx)=23+n=14(1)n+1(nπ)2cos(nπ2x)(19)

 

Sol) f(x)=23+n=14(1)n+1(nπ)2cos(nπ2x)

 

 이번 포스팅은 여기서 마치겠습니다. 다음 포스팅에서 Fourier Integral. 에 대하여 다룰 예정입니다.

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