42. 가우스의 발산 정리

 가우스의 발산 정리는 삼중적분을 면적분으로 바꾸어주는 도구입니다. 삼차원 공간에 닫혀 있는 공간 $T$가 존재하고, $T$의 경계 곡면을 $S$라 합시다. 벡터 함수 $\mathbf {F}$가 주어지고 $T$에서 $\mathbf {F}$가 연속이고 연속인 편도함수가 존재하면, 다음 식을 발산 정리라고 합니다.

 $\int\!\int\!\int_{T} \nabla \cdot \mathbf {F} dV = \int \int_{S} \mathbf {F} \cdot \mathbf {n} dA \cdots (1)$

 성분으로 나타내 봅시다. $\mathbf {F} = [F_1,F_2,F_3]$, $\mathbf {n} = [\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma]$라 합시다. 이때 $\alpha$, $\beta$, $\gamma$는 각 각 $\mathbf {n}$이 $x$, $y$, $z$축과 이루는 각이라 합시다. 이전 포스팅 Surface Integral에서 면적분을 성분으로 나타낸 식은 다음과 같습니다.

$\int \int_{S} (F_1 \cos \alpha + F_2 \cos \beta + F_3 \cos \gamma)dA = \int \int_{S} (F_1 dydz + F_2 dzdx + F_3 dxdy) \cdots (2)$

 삼중적분 부분을 성분으로 나타내 봅시다. $\nabla$의 성분은 다음과 같습니다.

 $\nabla = \left [\frac {\partial}{\partial x}, \frac {\partial}{\partial y}, \frac {\partial}{\partial z}\right] \cdots (3)$

 내적을 계산합시다. $dV = dxdydz$로 쓸 수 있습니다.

$\int\!\int\!\int_{T} \nabla \cdot \mathbf {F} dV = \int\!\int\!\int_{T} \left(\frac {\partial F_1}{\partial x} + \frac {\partial F_2}{\partial y} + \frac {\partial F_3}{\partial z} \right) dxdydz \cdots (4)$

 (2)와 (4)를 같이 쓰면 다음과 같습니다.

$\begin {matrix} \int\!\int\!\int_{T} \left(\frac {\partial F_1}{\partial x} + \frac {\partial F_2}{\partial y} + \frac {\partial F_3}{\partial z} \right) dxdydz &=& \int \int_{S} (F_1 \cos \alpha + F_2 \cos \beta + F_3 \cos \gamma) dA \\ &=& \int \int_{S} (F_1 dydz + F_2 dzdx + F_3 dxdy) \end {matrix}\cdots (5)$

 예제를 풀어봅시다.

 

Ex) $S : x^2 + y^2 = a^2,\ 0\leq z \leq b$인 원기둥일 때, $\int \int_{S} (x^3dydz + x^2 ydzdx + x^2 zdxdy)$ 

 (5)를 참고해 $\mathbf {F}$를 구해봅시다.

$\mathbf {F} = [x^3, x^2y,x^2z] \cdots (6)$

 $\nabla \cdot \mathbf {F}$를 구합니다.

$\nabla \cdot \mathbf {F} = 3x^2+x^2+x^2=5x^2 \cdots (7)$

 적분을 편하게 하기 위해 주어진 좌표계를 직교좌표계에서 원통좌표계로 바꿉시다. $x = r\cos \theta$, $y = r\sin \theta$가 됩니다. $dV = dxdydz = rdr d\theta dz$로 바뀝니다. 적분 구간은 $0\leq r \leq a$, $0\leq \theta \leq 2\pi$가 됩니다. (7)을 다시 원통좌표계로 바꿉니다.

$\nabla \cdot \mathbf {F} = 5r^2\cos^2 \theta \cdots (8)$

 (8)을 (1)에 대입하고 적분을 계산합시다.

$\begin {matrix} \int_{0}^{b} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{a} 5r^3\cos^2 \theta dr d\theta dz &=& \int_{0}^{b} \int_{0}^{2\pi} \left( \frac {5}{4}r^4\cos^2 \theta \right)|_{0}^{a} d\theta dz \\ &=& \frac {5}{4} a^4\int_{0}^{b} \int_{0}^{2\pi} \frac {1+\cos 2\theta}{2} d\theta dz \\ &=& \frac {5}{8} a^4 \int_{0}^{b} \left( \theta + \frac {1}{2}\sin 2\theta\right)|_{0}^{2\pi} dz \\ &=& \frac {5\pi}{4} a^2 (z)|_{0}^{b} \\ &=& \frac {5\pi}{4} a^2b \end {matrix} \cdots (9)$

 

 Sol) $\frac {5\pi}{4}a^4b$

 

 이번 포스팅은 여기서 마치겠습니다. 다음 포스팅에서 Stokes' Theorem에 대하여 다룰 예정입니다.