41. 면적분

41.1. Surface Integral.

 곡선을 매개변수로 나타내는데 필요한 변수의 개수는 1개였습니다. 그렇다면 곡면을 매개변수로 나타내는데 필요한 변수의 개수는 2개임을 추론할 수 있습니다.

[그림 1] 곡선과 곡면의 매개변수 표현

 [그림 1]^[각주:1]을 참고하면 쉽게 이해할 수 있습니다. 곡면 매개 변수가 두 개이기 때문에 두 매개변수가 만들어내는 영역 $R$이 존재합니다. 매개 변수로 표현한 곡면의 위치 벡터가 다음과 같다고 합시다.

 $\mathbf {r}(u, v) = [x(u, v), y(u, v), z(u, v)] = x(u, v)\mathbf {i} + y(u, v)\mathbf {j} + z(u, v)\mathbf {k} \cdots (1)$

 곡면 위의 모든 점에서 접평면이 존재하고, 그 접평면의 법선 벡터는 이전 포스팅 Gradient에서 다음과 같음을 얻을 수 있습니다.

$\mathbf {N} = \mathbf {r}_u \times \mathbf {r}_v \cdots (2)$

 단위 법선 벡터는 (2)에서 $\mathbf {N}$의 크기로 나누어 주면 됩니다.

$\mathbf {n} = \frac {\mathbf {N}}{|\mathbf {N}|} \cdots (3)$

 벡터 함수 $\mathbf {F}$가 주어지고, 면적분은 다음과 같이 정의합니다.

$\int \int_{S} \mathbf {F}\cdot \mathbf {n} dA\cdots (4)$

 (4)식을 이해해 보면 $\mathbf {F}\cdot \mathbf {n}$은 벡터 함수 $\mathbf {F}$가 곡면에 수직 한 성분을 의미합니다. 벡터 함수 $\mathbf {F}$가 곡면의 수직인 요소 합은 유동량이므로, 면적분은 유동량을 구하는데 주로 사용됩니다.

 (4)를 이제 매개변수를 통한 계산으로 나타내 봅시다. $|\mathbf {N}| = |\mathbf {r}_u \times \mathbf {r}_v|$는 $\mathbf {r}_u$와 $\mathbf {r}_v$가 만들어내는 평행사변형의 넓이와 같습니다. 매우 작은 크기일 때 평행 사변형의 넓이와 직사각형 넓이를 근사 시킬 수 있으므로, $dA$를 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

$dA = \mathbf {|N|} dudv \cdots (5)$

 (3)에서 $\mathbf {N} = \mathbf {|N|}\mathbf {n}$이므로, $\mathbf {n} dA$를 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

$\mathbf {n} dA = \mathbf {n} \mathbf {|N|} dudv = \mathbf {N} dudv \cdots (6)$

 (6)을 (4)에 대입하여 매개변수로 나타낸 식으로 만들어봅시다.

$\int \int_{S} \mathbf {F}\cdot \mathbf {n} dA = \int \int_{R} \mathbf {F}(\mathbf {r}(u, v)) \cdot \mathbf {N}(u, v) dudv \cdots (7)$

 면적분을 성분으로 나타내 봅시다. 벡터 함수 $\mathbf {F} = [F_1, F_2, F_3]$이라 하고, 법선 벡터 $\mathbf {N} = [N_1, N_2, N_3]$이라 합시다. 단위 법선 벡터는 $\mathbf {n} = [\cos \alpha,\cos \beta, \cos \gamma]$라 합시다. 이때 $\alpha$, $\beta$, $\gamma$는 각각 단위 법선 벡터와 $x$, $y$, $z$가 이루는 각의 크기입니다. (4)를 가져와서 식을 풀어봅시다.

$\int \int_{S} \mathbf {F} \cdot \mathbf {n} dA = \int \int_{S} (F_1\cos \alpha + F_2 \cos \beta + F_3 \cos \gamma) dA \cdots (8)$

 (8)식을 (6)을 이용하면 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

$\int \int_{S} (F_1\cos \alpha + F_2 \cos \beta + F_3 \cos \gamma) dA = \int \int_{R} (F_1N_1 + F_2N_2 + F_3N_3) dudv \cdots (9)$

 (8)의 $\cos \alpha \ dA = dydz$, $\cos \beta \  dA = dzdx$, $\cos \gamma \ dA = dxdy$이므로, 이를 대입하여 다음과 같이도 쓸 수 있습니다.

$\int \int_{S}\mathbf {F}\cdot \mathbf {n} dA = \int \int_{S} (F_1 dydz + F_2 dzdx + F_3 dxdy) \cdots (10)$

 예제를 풀어봅시다.

 

Ex) 1. $S : y = x^2$, $(0 \leq x \leq 2)$, $(0 \leq z \leq 3)$인 곡면에 속도 벡터 $\mathbf {v} = [3z^2, 6,6xz]$로 흐르는 물의 유동량을 구해봅시다. 물의 밀도는 $\rho = 1 \ ton/m^3$이라 합시다.

 먼저 곡면을 매개변수로 나타내 봅시다. $x = u$, $z = v$라 하면 다음과 같이 곡면의 위치 벡터를 쓸 수 있습니다.

$\mathbf {r}(u, v) = [u, u^2, v]$, $(0 \leq u \leq 2)$, $(0 \leq v \leq 3) \cdots (11)$

 물의 유동량의 벡터 함수는 $\mathbf {F} = \rho \mathbf {v}$입니다. $\rho = 1$이므로, $\mathbf {F} = \mathbf {v}$로 쓸 수 있습니다. $\mathbf {v}$에 (11)을 대입하여 매개변수로 나타내 봅시다.

$\mathbf {F} = \mathbf {v} = [3v^2,6,6uv] \cdots (12)$

 (7)에 대입하기 위해, $\mathbf {N}$을 구해봅시다. $\mathbf {N} = \mathbf {r}_u \times \mathbf {r}_v$이므로, 먼저 $\mathbf {r}_u$와 $\mathbf {r}_v$를 구해봅시다.

$\mathbf {r}_u = [1,2u,0] \cdots (13)$

$\mathbf {r}_v = [0,0,1] \cdots (14)$

 (13), (14)의 외적으로 $\mathbf {N}$을 구합니다.

$\mathbf {N} = \begin {vmatrix} \mathbf {i} & \mathbf {j} & \mathbf {k} \\ 1 & 2u & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end {vmatrix} = (2u)\mathbf {i} - \mathbf {j} + 0 \mathbf {k} = [2u,-1,0] \cdots (15)$

 (12), (15)를 (7)에 대입합니다.

$\int \int_{R} \mathbf {F}(\mathbf {r}(u, v)) \cdot \mathbf {N}(u, v) dudv = \int_{0}^{3} \int_{0}^{2} [u, u^2, v] \cdot [2u,-1,0] dudv = \int_{0}^{3} \int_{0}^{2}(6uv^2 -6) dudv \cdots (16)$

 (16)의 이중적분을 계산합시다.

$\int_{0}^{3} \int_{0}^{2}(6uv^2 -6) dudv = \int_{0}^{3} (3u^2v^2 - 6u)|_{0}^{2} dv = \int_{0}^{3} (12v^2 -12) dv = (4v^3 - 12v)|_{0}^{3} = 72 \cdots (17)$

 

 Sol) $ 72 \ (m^3/s)$

 

Ex) 2. $S : x+y+z = 1$, $\mathbf {F} = [x^2,0,3y^2]$일 때 면적분.

 우선 평면의 위치 벡터를 매개변수로 나타내 봅시다. $z = 1 - x - y$라 하고, $x = u$, $y = v$로 합시다. 평면의 위치 벡터는 다음과 같습니다.

$\mathbf {r}(u, v) = [u, v,1-u-v] \cdots (18)$

 면적분을 하기 위해서는 적분 범위를 정해야 합니다. $z = 0$이라 설정합시다. 그렇다면 $y = v$의 범위는 $0 \leq y=v \leq 1$이 되고, $x = u$의 범위는 $z = 1 - x - y = 0$이므로 $0 \leq x = u \leq 1-y = 1 - v$가 됩니다. 이제 (18)에서 $\mathbf {r}_u$, $\mathbf {r}_v$를 구해봅시다.

$\mathbf {r}_u = [1,0,-1] \cdots (19)$

$\mathbf {r}_v = [0,1,-1] \cdots (20)$

 (19), (20)으로 $\mathbf {N}$을 구합시다.

$\mathbf {N} = \begin {vmatrix} \mathbf {i} & \mathbf {j} & \mathbf {k} \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \end {vmatrix} = \mathbf {i} + \mathbf {j} + \mathbf {k} = [1,1,1] \cdots (21)$

 사실 주어진 면이 평면이므로, 평면의 방정식에서 바로 법선 벡터를 얻을 수도 있습니다.

$S : x + y + z = 1 \ \to \ \mathbf {N} = [1,1,1] \cdots (22)$

 $\mathbf {F}$를 매개변수로 나타내 봅시다.

$\mathbf {F}(\mathbf {r}(u, v)) = [u^2,0,3v^2] \cdots (23)$

 이제 (21), (23)을 (7)에 대입합시다.

$\int \int_{R} \mathbf {F}(\mathbf {r}(u, v))\cdot\mathbf {N}(u, v) dudv = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1-v} [u^2,0,3v^2]\cdot [1,1,1] dudv = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1-v} u^2+3v^2 dudv \cdots (24)$

 (24)의 이중적분을 계산합시다.

$\begin {matrix} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1-v} u^2+3v^2 dudv &=& \int_{0}^{1} \left( \frac {u^3}{3} + 3uv^2\right)|_{0}^{1-v} dv \\ &=& \int_{0}^{1} \left( \frac {(1-v)^3}{3} + 3v^2(1-v)\right) dv \\ &=& \left( - \frac {(1-v)^4}{12} + v^3 - \frac {3v^4}{4} \right)|_{0}^{1} \\ &=& \frac {1}{3} \end {matrix} \cdots (25)$

 

Sol) $\frac {1}{3}$

 

41.2. Area of Surface.

 이중적분으로 곡면의 넓이를 구할 수 있었습니다. 곡면 $S$의 넓이를 $A(S)$라 하면 다음과 같은 식으로 구할 수 있습니다.

 $A(S) = \int \int_{S} dA \cdots (26)$

$dA$는 (5)로 바꾸어 쓸 수 있었습니다. (2)와 (5)를 참고해 (26)을 수정하면 다음과 같이 식이 바뀝니다.

 $A(S) = \int \int_{R} |\mathbf {N}|dudv = \int \int_{R} |\mathbf {r}_u \times \mathbf {r}_v|dudv \cdots (27)$

예제를 풀어 봅시다.

 

Ex) 3. 구의 넓이를 구해봅시다.

[그림 2] 구 곡면 위치 벡터를 매개변수 나타내기

 [그림 2]^[각주:2]를 참고하여 구 곡면의 위치 벡터를 매개변수로 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

$\mathbf {r}(u, v) = [a\cos v \cos u, a\cos v \sin u, a\sin v]$, $(0\leq u \leq 2\pi)$, $(-\frac {\pi}{2} \leq v \leq \frac {\pi}{2}) \cdots (28)$

 (28)에서 $\mathbf {r}_u$, $\mathbf {r}_v$를 구해봅시다.

$\mathbf {r}_u = [-a \cos v \sin u, a\cos v \cos u, 0] \cdots (29)$

$\mathbf {r}_v = [-a\sin v \cos u, -a\sin v \sin u, a\cos v] \cdots (30)$

 (29), (30)을 외적 합시다.

$\begin {matrix} \mathbf {r}_u \times \mathbf {r}_v &=& \begin {vmatrix} \mathbf {i} & \mathbf {j} & \mathbf {k} \\ -a \cos v \sin u & a\cos v \cos u & 0 \\ -a\sin v \cos u & -a\sin v \sin u & a\cos v \end {vmatrix} \\ &=& [a^2\cos^2 v \cos u , a^2 \cos^2 v \sin u , a^2 \cos v \sin u] \end {matrix} \cdots (31)$

 (31)의 크기를 구해봅시다.

$\begin {matrix} |\mathbf {r}_u \times \mathbf {r}_v| &=& a^2 \sqrt { \cos^4 v \cos^2 u + \cos^4 v \sin^2 u + \cos^2 v \sin^2 v} \\ &=& a^2 \sqrt { \cos^2 v(\cos^2 v + \sin^2 v)} = a^2|\cos v| \end {matrix} \cdots (32)$

 (32)를 (27)에 대입합니다. 주어진 범위에서 $0 < \cos v$이므로, $|\cos v| = \cos v$입니다.

$\begin {matrix} A(S) = a^2 \int_{-\frac {\pi}{2}}^{\frac {\pi}{2}} \int_{0}^{2\pi} \cos v dudv &=& a^2 \int_{-\frac {\pi}{2}}^{\frac {\pi}{2}} (u\cos v)|_{0}^{2\pi} dv \\ &=& 2\pi a^2 \int_{-\frac {\pi}{2}}^{\frac {\pi}{2}} \cos v dv \\ &=& 2a^2\pi (\sin v)|_{-\frac {\pi}{2}}^{\frac {\pi}{2}} \\ &=& 4\pi a^2 \end {matrix} \cdots (33)$

 

Sol) $A(S) = 4\pi a^2$

 

 Ex) 4. [그림 3]^[각주:3] 토러스의 겉넓이를 구해 봅시다.

[그림 3] 토러스 곡면의 위치 벡터를 매개변수로 나타내기.

 [그림 3]의 토러스는 $z$축에서 $a$만큼 떨어진 지점을 중심으로 반지름이 $b$인 원이 $z$축을 회전축으로 하는 회전체입니다. 토러스 곡면 위의 임의의 점 $P$의 위치를 매개변수를 이용하여 먼저 나타내 봅시다. $P$와 $x$축이 이루는 각을 $u\ (0\leq u \leq 2\pi)$라 하고, $P$와 $y$축이 이루는 각을 $v\ (0\leq v \leq 2\pi)$라고 합시다. 각각의 좌표는 다음과 같이 구할 수 있습니다.

$\begin {cases} x : (a+b\cos v)\cos u \\ y : (a+b\cos v)\sin u \\ z : b \sin v \end {cases} \cdots (34)$

 (34)를 통해 위치 벡터를 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

$\mathbf {r}(u, v) = [(a+b\cos v)\cos u, (a+b\cos v)\sin u, b \sin v] \cdots (35)$

 (35)를 미분해 $\mathbf {r}_u$, $\mathbf {r}_v$를 구해봅시다.

$\mathbf {r}_u = [-(a+b\cos v)\sin u, (a+b\cos v)\cos u, 0] \cdots (36)$

$\mathbf {r}_v = [(a-b\sin v)\cos u, (a-b\sin v)\sin u, b \cos v] \cdots (37)$

 (36)과 (37)을 외적 합시다.

$\begin {matrix} \mathbf {r}_u \times \mathbf {r}_v &=& \begin {vmatrix} \mathbf {i} & \mathbf {j} & \mathbf {k} \\ -(a+b\cos v)\sin u & (a+b\cos v)\cos u & 0 \\ (a-b\sin v)\cos u & (a-b\sin v)\sin u & b \cos v \end {vmatrix} \\ &=& b(a + b \cos v)[\cos u \cos v \mathbf {i} + \sin u \cos v \mathbf {j} + \sin v \mathbf {k}] \end {matrix} \cdots (38)$

 (38)의 크기를 구합니다.

$|\mathbf {r}_u \times \mathbf {r}_v| = b(a + b \cos v) \sqrt {\cos^2 u \cos^2 v + \sin^2 u \cos^2 v + \sin^2 v} = b(a + b \cos v) \cdots (39)$

 (39)를 (27)에 대입하여 $A(S)$를 구합니다.

$\begin {matrix} A(S) = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2\pi} b(a+b\cos v) dudv &=& \int_{0}^{2\pi} (abu+b^2u\cos v)|_{0}^{2\pi} dv \\ &=& 2\pi \int_{0}^{2\pi} (ab + b^2\cos v) dv \\ &=& 2\pi (abv + b^2\sin v)|_{0}^{2\pi} \\ &=& 4\pi^2 ab \end {matrix} \cdots (40)$

 

Sol) $A(S) = 4\pi^2 ab$

 

 곡면의 방정식이 $z = f(x, y)$로 주어졌을 때 곡면의 넓이를 구해 봅시다. 매개변수로 나타내어 $x = u$, $y = v$라고 하면, 곡면의 위치 벡터는 다음과 같습니다.

$\mathbf {r}(u, v) = [u, v, f(u, v)] \cdots (41)$

 (41)을 미분하여 $\mathbf {r}_u$, $\mathbf {r}_v$를 구해봅시다.

$\mathbf {r}_u = [1,0, f_u] \cdots (42)$

$\mathbf {r}_v = [0,1, f_v] \cdots (43)$

 (42), (43)을 외적 합니다.

$\mathbf {r}_u \times \mathbf {r}_v = \begin {vmatrix} \mathbf {i} & \mathbf {j} & \mathbf {k} \\ 1 & 0 & f_u \\ 0 & 1 & f_v \end {vmatrix} = -f_u\mathbf {i} - f_v\mathbf {j} + \mathbf {k} \cdots (44)$

 (44)의 크기를 구합니다.

$|\mathbf {r}_u \times \mathbf {r}_v| = \sqrt {1^2 + f_u^2 + f_v^2} \cdots (45)$

 $x = u$, $y = v$이고, (45)를 (27)에 대입합니다.

$A(S) = \int \int_{R} \sqrt {1^2 + f_u^2 + f_v^2} dudv = \int \int_{R^*} \sqrt {1 + \left(\frac {\partial f}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac {\partial f}{\partial y}\right)^2} dxdy \cdots (46)$

 (46)의 적분 범위 $R^*$은 곡면 $S$의 평면 $xy$로 정사영입니다.

 

 이번 포스팅은 여기서 마치겠습니다. 다음 포스팅에서 Divergence Theorem of Gauss. 에 대하여 다룰 예정입니다.

 

 

1. Erwin Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics 10th edition, pp.439. [본문으로]
2. 같은 책, pp.440. [본문으로]
3. 같은 책, pp. 449. [본문으로]