40. 그린(Green) 정리

40.1. Green's Theorem in the Plain.

 Green 정리는 선적분과 이중적분간을 변환시켜주는 도구입니다. $xy$평면 위에 폐곡선 $C$가 존재하고 $C$가 이루는 닫힌 면을 $R$이라고 합시다. $F_1(x, y)$, $F_2(x, y)$가 연속 함수이고 $R$ 내에 연속인 편도함수 $\frac {\partial F_1}{\partial y}$, $\frac {\partial F_2}{\partial x}$가 존재한다고 합시다. Green 정리는 다음과 같습니다.

$\int \int_{R} \left( \frac {\partial F_2}{\partial x} - \frac {\partial F_1}{\partial y} \right) dxdy = \oint_{C}(F_1dx + F_2dy) \cdots (1)$

 (1)을 벡터 형태로 바꾸어서 나타낼 수 있습니다. $\mathbf {F} = [F_1, F_2]$라 하고, 회전을 계산해 봅시다.

$\mathrm {curl}\ \mathbf {F} = \left(- \frac {\partial F_2}{\partial z}\right)\mathbf {i} + \left(\frac {\partial F_1}{\partial z}\right)\mathbf {j} + \left(\frac {\partial F_2}{\partial x} - \frac {\partial F_1}{\partial y}\right)\mathbf {k} \cdots (2)$

 (2)에서 (1)을 나타내기 위해서 회전의 $\left(\frac {\partial F_2}{\partial x} - \frac {\partial F_1}{\partial y}\right)\mathbf {k}$항만이 필요합니다. 이는 회전과 $\mathbf {k}$의 내적으로 가져올 수 있습니다.

$\frac {\partial F_2}{\partial x} - \frac {\partial F_1}{\partial y} = \mathrm {curl}\ \mathbf {F} \cdot \mathbf {k} \cdots (3)$

 따라서 (3)을 통해 (1)의 좌변을 얻을 수 있습니다.

$\int \int_{R} \left( \frac {\partial F_2}{\partial x} - \frac {\partial F_1}{\partial y} \right) dxdy = \int \int_{R} (\mathrm {curl}\ \mathbf {F})\cdot \mathbf {k} dxdy \cdots (4)$

 $d\mathbf {r} = [dx,dy]$라 하면, (1)의 좌변은 다음과 같이 얻을 수 있습니다.

$\oint_{C} (F_1dx + F_2dy) = \oint_{C} \mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} \cdots (5)$

 (4)와 (5)를 조합하여 Green 정리를 벡터 형태로 나타낼 수 있습니다.

$\int \int_{R} (\mathrm {curl}\ \mathbf {F})\cdot \mathbf {k} dxdy = \oint_{C} \mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} \cdots (6)$

 Green 정리를 증명해 봅시다. [그림 1]^[각주:1]을 참고해봅시다.

[그림 1]

 $xy$평면 위의 폐곡선 $C$가 있고 $C$에 둘러싸인 내부면을 $R$이라 합시다. 폐곡선의 가장 작은 $x$값을 $a$라 하고 가장 큰 값을 $b$라 합시다. 점 $a$와 점 $b$를 기준으로 두 곡선 $C^*$, $C^{**}$으로 나누고 $C^* = u(x)$, $C^{**} = v(x)$라 합시다. $C$의 이동 방향은 반시계 방향으로 합시다. $R$의 범위는 다음과 같습니다.

$\begin {cases} a\leq x \leq b \\ u(x) \leq y \leq v(x) \end {cases} \cdots (7)$

 (1)의 좌변 $\int \int_{R} \frac {\partial F_1}{\partial y} dxdy$항만 가져와 봅시다. 적분 범위가 주어졌으므로 이중적분을 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

$\int \int_{R} \frac {\partial F_1}{\partial y} dxdy = \int_{a}^{b} \int_{u(x)}^{v(x)} \frac {\partial F_1}{\partial y} dydx \cdots (8)$

 (8) 이중적분의 첫 번째 적분을 풀어봅시다.

$\int_{u(x)}^{v(x)} \frac {\partial F_1}{\partial y} dy = F_1(x, y)|_{y=u(x)}^{y=v(x)} = F_1(x, v(x)) - F_1(x, u(x)) \cdots (9)$

 (9)를 (8)에 대입하고 적분 형태를 바꾸어 봅시다.

$\begin {matrix} \int \int_{R} \frac {\partial F_1}{\partial y} dxdy &=& \int_{a}^{b} F_1(x,v(x))dx - \int_{a}^{b} F_1(x, u(x))dx \\ &=& -\int_{b}^{a} F_1(x, v(x))dx - \int_{a}^{b} F_1(x, u(x))dx \end {matrix} \cdots (10)$

 (10) 우변의 적분을 선적분으로 바꿉시다.

$-\int_{b}^{a} F_1(x,v(x))dx - \int_{a}^{b} F_1(x, u(x))dx = -\int_{C^{**}} F_1(x, y) dx - \int_{C^{*}} F_1(x, y) dx \cdots (11)$

 (11)의 우변은 적분 경로를 $C$로 합칠 수 있습니다.

$-\int_{C^{**}} F_1(x,y)dx - \int_{C^{*}} F_1(x, y) dx = -\oint_{C} F_1(x, y) dx \cdots (12)$

 이제 $\int \int_{R} \frac {\partial F_2}{\partial x}dxdy$항을 구해봅시다. [그림 2]^[각주:2]를 참고하여 이전과 같은 방법으로 구하면 됩니다.

[그림 2]

 전과 같은 조건에 이번엔 $y$를 기준으로 먼저 생각합시다. $y$ 값이 가장 작은 점을 $c$, 가장 큰 점을 $d$라 하고, $C$를 두 구간으로 나누어 $p(y)$, $q(y)$라 합시다. 같은 조건이므로 이동 방향은 반시계 방향으로 동일합니다. $R$의 범위는 다음과 같습니다.

$\begin {cases} c \leq y \leq d \\ p(y) \leq x \leq q(y) \end {cases} \cdots (13)$

 적분을 풀어봅시다.

$\begin {matrix} \int \int_{R} \frac {\partial F_2}{\partial x} dxdy &=& \int_{c}^{d}\int_{p(y)}^{q(y)}\frac {\partial F_2}{\partial x} dxdy \\ &=& \int_{c}^{d} F_2(q(y), y) dy + \int_{d}^{c} F_2(p(y), y) dy \\ &=& \oint_{C} F_2(x, y) dy \end {matrix}\cdots (14)$

 (12), (14)를 합하여 Green 정리가 완성됩니다.

$\int \int_{R} \left( \frac {\partial F_2}{\partial x} - \frac {\partial F_1}{\partial y} \right) dxdy = \oint_{C} F_2(x,y)dy -\left(-\oint_{C} F_1(x,y)dx\right) = \oint_{C} (F_1dx + F_2dy) \cdots (15)$

 예제를 풀어봅시다.

 

 Ex) 1. $\mathbf {F} = [y^2-7y,2xy + 2x]$이고, 적분 경로 $C : x^2 + y^2 = 1$일 때 Green 정리가 성립하는지 확인해 봅시다.

 (1)의 좌변으로 풀어봅시다. 주어진 값을 대입합니다.

$\int \int_{R} \left( \frac {\partial F_2}{\partial x} - \frac {\partial F_1}{\partial y} \right) dxdy = \int \int_{R} [(2y+2) - (2y - 7)]dxdy = 9\int \int_{R} dxdy\cdots (16)$

 (17)의 $\int \int_{R} dxdy$는 $R$의 넓이를 의미합니다. $R$은 반지름이 1인 원이므로 그 넓이는 $\pi$가 되겠죠.

$9\int \int_{R}dxdy = 9\pi \cdots (17)$

 (1)의 우변을 통해 구해봅시다. 매개변수 $t$ $(0 \leq t \leq 2\pi)$를 이용하면 $\mathbf {r}(t) = [\cos t, \sin t]$임을 알 수 있습니다. (1)의 우변과 (6)의 우변은 같습니다. (6)의 우변 형태로 계산해봅시다. 우선 $\mathbf {F}$를 매개변수 $t$에 대한 식으로 나타내 봅시다.

 $\mathbf {F}(\mathbf {r}(t)) = [\sin^2 t -7\sin t,2\sin t \cos t + 2 \cos t] \cdots (18)$

 $\mathbf {r}'(t)$를 구해봅시다.

$\mathbf {r}'(t) = \frac {d}{dt}[\cos t, \sin t] = [-\sin t, \cos t] \cdots (19)$

 (18), (19)를 (6) 우변에 대입해 봅시다.

$\oint_{C}\mathbf {F}\cdot d\mathbf {r} = \int_{0}^{2\pi} \mathbf {F}(\mathbf {r}(t)) \cdot \mathbf {r}'(t) dt = \int_{0}^{2\pi} [\sin^2 t -7\sin t,2\sin t \cos t + 2 \cos t] \cdot [-\sin t, \cos t] dt \cdots (20)$

 (20)의 적분을 계산해 봅시다.

$\int_{0}^{2\pi} \mathbf {F}(\mathbf {r}(t)) \cdot \mathbf {r}'(t) dt = \int_{0}^{2\pi} (-\sin^3 t + 7\sin^2 t + 2\cos^2 t \sin t + 2\cos^2 t) dt = 9\pi \cdots (21)$

 (17)과 (21)를 비교하면 값이 같음을 확인할 수 있습니다.

 

Sol) $9\pi$로 값이 같음.

 

40.2. Application of Green's Theorem.

 (1)의 $F_1 = 0$, $F_2 = x$인 경우를 대입해 봅시다. 식은 다음과 같습니다.

$\int \int_{R} dxdy = \oint_{C} xdy \cdots (22)$

 이번에는 (1)에 $F_1 = -y$, $F_2 =0$을 대입해봅시다.

$\int \int_{R} dxdy = - \oint_{C} ydx \cdots (23)$

 (22)와 (23)의 좌변은 $R$의 넓이를 의미합니다. $R$의 넓이를 $A$라 합시다. (22)와 (23)을 이용해 $A$를 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

$A = \frac {1}{2} \oint_{C}(xdy - ydx) \cdots (24)$

 (24)는 Green 정리를 통해, $R$의 넓이 $A$를 선적분으로 구할 수 있음을 의미합니다. 예제를 풀어 봅시다.

 

Ex) 2. $\frac {x^2}{a^2} + \frac {y^2}{b^2} = 1$인 타원의 넓이.

 타원 위치 벡터를 매개변수 $t$ $(0 \leq t \leq 2\pi)$를 이용해 나타내 봅시다. 다음과 같습니다.

$\mathbf {r}(t) = [a\cos t, b\sin t] \cdots (25)$

 (25)를 미분합니다.

$\mathbf {r}'(t) = [-a\sin t, b\cos t] \cdots (26)$

 (25), (26)을 (24)에 대입합니다.

$A = \frac {1}{2} \oint_{C}(xdy - ydx) = \frac {1}{2} \int_{0}^{2\pi} (ab\cos^2 t) - (-ab\sin^2 t) dt = \frac {1}{2}\times ab \int_{0}^{2\pi} dt = \pi ab \cdots (27)$

 

Sol) $\pi ab$

 

 $r$과 $\theta$로 구성된 극좌표계로 (24)를 나타내 봅시다. $x = r\cos \theta$, $y = r\sin \theta$입니다. 각각 미분하면 다음과 같습니다.

 $\begin {cases} dx = \cos \theta dr - r \sin \theta d\theta \\ dy = \sin \theta dr + r \cos \theta d\theta \end {cases} \cdots (28)$

 (28)을 (24)에 대입해 봅시다.

 $\begin {matrix} A = \frac {1}{2} \oint_{C}(xdy - ydx) &=& \frac {1}{2} \oint_{C}(r\cos \theta)(\sin \theta dr + r \cos \theta d\theta) - (r\sin \theta)(\cos \theta dr - r \sin \theta d\theta)\\ &=& \frac {1}{2} \oint_{C} r\cos \theta \sin \theta dr + r^2\cos^2 \theta d\theta - r\sin \theta \cos \theta dr - r^2\sin^2 \theta d\theta \\ &=& \frac {1}{2} \oint_{C} r^2 d\theta \end {matrix} \cdots (29)$

 예제를 풀어봅시다.

 

 Ex) 3. $r = a(1-\cos \theta)$, $(0 \leq \theta \leq 2\pi)$인 심장형의 넓이 구하기.

 주어진 식을 (29)에 대입합시다.

$A = \frac {1}{2} \oint_{C} r^2 d\theta = \frac {1}{2} \int_{0}^{2\pi} a^2(1 - \cos \theta)^2 d\theta \cdots (30)$

 (30)의 적분을 풀어줍시다.

$\begin {matrix} \frac {1}{2} \int_{0}^{2\pi} a^2(1 - \cos \theta)^2 d\theta &=& \frac {a^2}{2} \int_{0}^{2\pi} (\cos^2 \theta - 2\cos \theta + 1) d\theta\\ &=&\frac {a^2}{2} \int_{0}^{2\pi} \left(\frac {\cos (2\theta) + 1}{2} - 2\cos \theta + 1\right) d\theta \\ &=& \frac {a^2}{2}\left( \frac {\sin (2\theta)}{4} - 2\sin \theta + \frac {3}{2}\right)|_{0}^{2\pi} \\ &=& \frac {3\pi}{2} a^2 \end {matrix}\cdots (31) $

 

Sol) $\frac {3\pi}{2} a^2$

 

 이번 포스팅은 여기서 마치겠습니다. 다음 포스팅에서 Surface Integrals에 대하여 다룰 예정입니다.

 

1. Erwin Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics 10th edition, pp. 434. [본문으로]
2. 같은 책, pp.434. [본문으로]