39. 적분 경로의 독립

39.1. Path Dependence.

 선적분은 구간의 시점과 종점뿐만 아니라, 적분 경로에 따라서도 적분 결과가 달라집니다. 다음 예시를 풀어 보면서 확인해봅시다.

 

 Ex) 1. 시점과 종점이 같지만 적분 경로가 다른 두 선적분의 결과를 비교해 봅시다. [그림 1]^[각주:1]의 $C_1$은 $\mathbf {r}_1(t) = [t, t,0]$을 따르고, $C_2$는 $\mathbf {r}_2(t) = [t, t^2,0]$이고, 두 경로 모두 구간 $0 \leq t \leq 1$입니다. $\mathbf {F} = [0, xy,0]$의 각 경로에 따른 선적분을 비교해 봅시다.

[그림 1] 예제 1의 적분 경로

 $C_1$의 선적분을 먼저 구해봅시다. $\mathbf {r}_1$을 $\mathbf {F}$에 대입해봅시다.

$\mathbf {F}(\mathbf {r}_1(t)) = [0,t^2,0] \cdots (1)$

 $\mathbf {r}_1(t)$을 미분합시다.

$\mathbf {r}_1'(t) = [1,1,0]\cdots (2)$

 (1)과 (2)를 통해 선적분을 계산합니다.

$\int_{C_1} \mathbf {F}(\mathbf {r}_1(t))\cdot\mathbf {r}_1'(t) dt = \int_{0}^{1} [0, t^2,0]\cdot [1,1,0] dt = \int_{0}^{1} t^2 dt = \left(\frac {t^3}{3}\right)|_{0}^{1} = \frac {1}{3} \cdots(3)$

 $C_2$를 구해봅시다. $\mathbf {r}_2$를 $\mathbf {F}$에 대입합니다.

$\mathbf {F}(\mathbf {r}_2(t)) = [0,t^3,0] \cdots (4)$

 $\mathbf {r}_2(t)$을 미분합시다.

$\mathbf {r}_2'(t) = [1,2t,0]\cdots (5)$

 (4),(5)로 선적분을 계산합시다.

$\int_{C_2} \mathbf {F}(\mathbf {r}_2(t))\cdot\mathbf {r}_2'(t) dt = \int_{0}^{1} [0, t^3,0]\cdot [1,2t, 0] dt = \int_{0}^{1} 2t^4 dt = \left(\frac {2t^5}{5}\right)|_{0}^{1} = \frac {2}{5} \cdots (6)$

 (3)과 (6)을 비교하면 시점과 종점이 같지만, 적분 경로가 달라 선적분 값이 다름을 확인할 수 있습니다.

 

39.2. Path Independence.

 39.1. 과는 다르게, 적분 경로에 무관하게 시점과 종점에 따라서만 선적분 값이 변하는 경우도 있습니다. $\mathbf {F} = \nabla f$로 나타낼 수 있는 경우 적분 경로에 관계없이 시점과 종점이 같다면 선적분 값이 같습니다. 증명해봅시다.

 선적분은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

$\int_{C}\mathbf {F}\cdot d\mathbf {r} = \int_{C}(F_1dx + F_2dy + F_3dz) \cdots (7)$

 $\mathbf {F} = \nabla f$이므로, 다음과 같습니다.

$\mathbf {F} = [F_1,F_2,F_3] = \left [\frac {\partial f}{\partial x},\frac {\partial f}{\partial y}, \frac {\partial f}{\partial z}\right]\cdots (8)$

 (8)을 (7)에 대입해봅시다.

$\int_{C} \left(\frac {\partial f}{\partial x} dx + \frac {\partial f}{\partial y} dy + \frac {\partial f}{\partial z} dz\right) \cdots (9)$

 (9)를 Chain Rule을 이용하여 매개변수 $t$에 대한 적분으로 나타내 봅시다. 적분 경로의 시점을 점 $A$라 하고, 종점을 점 $B$이라 하고 $t$의 구간을 $a \leq t \leq b$이라 합시다. 적분을 다음과 같이 바꿀 수 있습니다.

$\int_{C} \left(\frac {\partial f}{\partial x}dx + \frac {\partial f}{\partial y} dy + \frac {\partial f}{\partial z} dz\right) = \int_{a}^{b} \left(\frac {\partial f}{\partial x} \frac {dx}{dt} + \frac {\partial f}{\partial y} \frac {dy}{dt} + \frac {\partial f}{\partial z} \frac {dz}{dt} \right) dt \cdots(10)$

 (10)의 적분 함수는 $f$의 전미분 $\frac {df}{dt}$와 같습니다. 따라서 다음과 같습니다.

$\int_{a}^{b} \left(\frac {\partial f}{\partial x} \frac {dx}{dt} + \frac {\partial f}{\partial y} \frac {dy}{dt} + \frac {\partial f}{\partial z} \frac {dz}{dt} \right) dt = \int_{a}^{b} \frac {df}{dt} dt = \int_{a}^{b} df \cdots (11)$

 (11)을 미적분의 기본 정리로 풀어 줍니다.

$\int_{a}^{b} df = f[x(t),y(t),z(t)]|_{t=a}^{t=b} = f(x(b), y(b), z(b)) - f(x(a), y(a), z(a)) = f(B) - f(A) \cdots (12)$

 (12)의 결과로, $\mathbf {F} = \nabla f$로 나타낼 수 있다면, 선적분 값은 $f(B) - f(A)$이므로 시점과 종점의 값으로만 결정되므로, 적분 경로와는 무관함을 확인할 수 있습니다.

 

39.3. Path Independence Around Closed Curves.

 선적분이 경로에 무관할 때, 즉 $\mathbf {F} = \nabla f$일 때 적분 경로가 만일 폐곡선일 경우 적분 값이 어떨지 확인해 봅시다. [그림 2]에서 폐곡선을 점 $A$와 점 $B$로 나누고 적분 방향이 시계 반대 방향이라고 합시다.

[그림 2] 폐곡선의 구간

 적분 방향이 시계 반대 방향이므로 $C_1$은 시점이 $A$이고 종점이 $B$입니다. $C_2$는 시점이 $B$이고 종점이 $A$입니다. $\mathbf {F} = \nabla f$라면 경로에 무관하므로 $C_1$의 적분은 $f(B) - f(A)$이고, $C_2$의 적분은 $f(A) - f(B)$가 됩니다. 선적분의 성질로 $\int_{C} = \int_{C_1} + \int_{C_2}$이므로, $\mathbf {F} = \nabla f$일 때 적분 경로가 폐곡선인 적분은 다음과 같습니다.

$\int_{C}\mathbf {F}\cdot d\mathbf {r} = \int_{C_1}\mathbf {F_1}\cdot d\mathbf {r_1} + \int_{C_2}\mathbf {F_2} \cdot d\mathbf {r_2} = (f(B) - f(A)) - (f(A) - f(B)) = 0 \cdots (13)$

 즉 적분 경로에 무관한 선적분의 적분 구간이 폐곡선일 때, 선적분 값은 0이 됩니다.

 

39.4. Path Independence of Differential Forms.

 적분 경로에 무관한 선적분인지 쉽게 판단할 수 있는 방법이 있습니다. 적분 경로에 무관하려면 $\mathbf {F} = \nabla f$인 $f$가 존재하면 됩니다. 이전 포스팅의 회전을 이용합시다. 회전의 성질로 다음과 같은 식이 있었습니다.

 $\mathrm {curl} \ \nabla f = \mathrm {curl}\ \mathbf {F} = \mathbf {0} \cdots (14)$

 $\mathbf {F}$의 회전이 0이면 $\mathbf {F} = \nabla f$이므로, 적분 경로에 무관해집니다. $\mathbf {F} = [F_1,F_2,F_3]$이라 하고 회전을 계산하면 다음과 같습니다.

$\mathrm {curl}\ \mathbf {F} = \begin {vmatrix} \mathbf {i}&\mathbf {j}&\mathbf {k} \\ \frac {\partial}{\partial x}&\frac {\partial}{\partial y}&\frac {\partial}{\partial z} \\ F_1&F_2&F_3 \end {vmatrix} = \left(\frac {\partial F_3}{\partial y} - \frac {\partial F_2}{\partial z}\right)\mathbf {i} - \left(\frac {\partial F_3}{\partial x} - \frac {\partial F_1}{\partial z}\right)\mathbf {j} + \left(\frac {\partial F_2}{\partial x} - \frac {\partial F_1}{\partial y}\right)\mathbf {k}\cdots (15)$

 (15)의 결과로 다음을 만족하면 $\mathbf {F} = \nabla f$를 만족하는 $f$가 존재함을 알 수 있습니다.

$\frac {\partial F_3}{\partial y} = \frac {\partial F_2}{\partial z}$, $\frac {\partial F_3}{\partial x} = \frac {\partial F_1}{\partial z}$, $\frac {\partial F_2}{\partial x} = \frac {\partial F_1}{\partial y}\cdots (16)$

 

 이번 포스팅은 여기서 마치겠습니다. 다음 포스팅에서 Green's Theorem에 대하여 작성할 예정입니다.

1. Erwin Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics 10th edition, pp.418. [본문으로]