공업수학43 40. 그린(Green) 정리 40.1. Green's Theorem in the Plain. Green 정리는 선적분과 이중적분간을 변환시켜주는 도구입니다. $xy$평면 위에 폐곡선 $C$가 존재하고 $C$가 이루는 닫힌 면을 $R$이라고 합시다. $F_1(x, y)$, $F_2(x, y)$가 연속 함수이고 $R$ 내에 연속인 편도함수 $\frac {\partial F_1}{\partial y}$, $\frac {\partial F_2}{\partial x}$가 존재한다고 합시다. Green 정리는 다음과 같습니다. $\int \int_{R} \left( \frac {\partial F_2}{\partial x} - \frac {\partial F_1}{\partial y} \right) dxdy = \oint_{C}(F_1dx +.. 2020. 6. 22. 39. 적분 경로의 독립 39.1. Path Dependence. 선적분은 구간의 시점과 종점뿐만 아니라, 적분 경로에 따라서도 적분 결과가 달라집니다. 다음 예시를 풀어 보면서 확인해봅시다. Ex) 1. 시점과 종점이 같지만 적분 경로가 다른 두 선적분의 결과를 비교해 봅시다. [그림 1]의 $C_1$은 $\mathbf {r}_1(t) = [t, t,0]$을 따르고, $C_2$는 $\mathbf {r}_2(t) = [t, t^2,0]$이고, 두 경로 모두 구간 $0 \leq t \leq 1$입니다. $\mathbf {F} = [0, xy,0]$의 각 경로에 따른 선적분을 비교해 봅시다. $C_1$의 선적분을 먼저 구해봅시다. $\mathbf {r}_1$을 $\mathbf {F}$에 대입해봅시다. $\mathbf {F}(\mat.. 2020. 6. 19. 38. 선적분 다음과 같은 형태의 적분 계산을 주로 했었습니다. $\int_{a}^{b} f(x) dx \cdots(1)$ (1)의 적분은 $f(x)$을 직교 좌표계의 $x$축을 따라 $x = a$부터 $x =b$까지의 적분입니다. Line integral(선적분)은 여기서 적분 함수가 벡터 함수가 되고, 적분 변수는 공간이나 평면 위 곡선의 위치 벡터인 적분입니다. 벡터 함수를 $\mathbf {F(r)}$이라 하고, 적분 구간 곡선을 $C$라 하고 곡선의 위치 벡터를 $\mathbf {r}$이라 하면 선적분을 다음처럼 쓸 수 있습니다. $\int_{C} \mathbf {F(r)}\cdot d\mathbf {r} \cdots (2)$ $C$를 적분 경로라고도 부릅니다. [그림 1]을 참고해 봅시다. [그림 1]의 (.. 2020. 6. 17. 37. 벡터장의 회전(Curl)과 발산(Divergence) 37.1. Divergence of a Vector Field. Gradient는 Scalar field에서 Vector field를 얻어냈습니다. 그 반대로 Divergence(발산)는 Vector field를 Scalar field로 바꾸는 도구입니다. $xyz$-직교 좌표계에서 미분 가능한 벡터 함수 $\mathbf {v}(x, y, z) = [v_1, v_2, v_3]$가 존재한다 합시다. $\mathbf {v}$의 Divergence는 다음과 같이 정의됩니다. $\mathrm {div}\ \mathbf {v} = \frac {\partial v_1}{\partial x} + \frac {\partial v_2}{\partial y} + \frac {\partial v_3}{\partial z} .. 2020. 6. 13. 이전 1 2 3 4 5 6 ··· 11 다음
