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공업수학43

40. 그린(Green) 정리 40.1. Green's Theorem in the Plain. Green 정리는 선적분과 이중적분간을 변환시켜주는 도구입니다.

$xy$ 평면 위에 폐곡선

$C$ 가 존재하고

$C$ 가 이루는 닫힌 면을

$R$ 이라고 합시다.

$F_1(x, y)$ ,

$F_2(x, y)$ 가 연속 함수이고

$R$ 내에 연속인 편도함수

$\frac {\partial F_1}{\partial y}$ ,

$\frac {\partial F_2}{\partial x}$ 가 존재한다고 합시다. Green 정리는 다음과 같습니다. $\int \int_{R} \left( \frac {\partial F_2}{\partial x} - \frac {\partial F_1}{\partial y} \right) dxdy = \oint_{C}(F_1dx +.. 2020. 6. 22.

39. 적분 경로의 독립 39.1. Path Dependence. 선적분은 구간의 시점과 종점뿐만 아니라, 적분 경로에 따라서도 적분 결과가 달라집니다. 다음 예시를 풀어 보면서 확인해봅시다. Ex) 1. 시점과 종점이 같지만 적분 경로가 다른 두 선적분의 결과를 비교해 봅시다. [그림 1]의

$C_1$ 은

$\mathbf {r}_1(t) = [t, t,0]$ 을 따르고,

$C_2$ 는

$\mathbf {r}_2(t) = [t, t^2,0]$ 이고, 두 경로 모두 구간

$0 \leq t \leq 1$ 입니다.

$\mathbf {F} = [0, xy,0]$ 의 각 경로에 따른 선적분을 비교해 봅시다.

$C_1$ 의 선적분을 먼저 구해봅시다.

$\mathbf {r}_1$ 을

$\mathbf {F}$ 에 대입해봅시다. $\mathbf {F}(\mat.. 2020. 6. 19.

38. 선적분 다음과 같은 형태의 적분 계산을 주로 했었습니다.

$\int_{a}^{b} f(x) dx \cdots(1)$ (1)의 적분은

$f(x)$ 을 직교 좌표계의

$x$ 축을 따라

$x = a$ 부터

$x =b$ 까지의 적분입니다. Line integral(선적분)은 여기서 적분 함수가 벡터 함수가 되고, 적분 변수는 공간이나 평면 위 곡선의 위치 벡터인 적분입니다. 벡터 함수를

$\mathbf {F(r)}$ 이라 하고, 적분 구간 곡선을

$C$ 라 하고 곡선의 위치 벡터를

$\mathbf {r}$ 이라 하면 선적분을 다음처럼 쓸 수 있습니다.

$\int_{C} \mathbf {F(r)}\cdot d\mathbf {r} \cdots (2)$

$C$ 를 적분 경로라고도 부릅니다. [그림 1]을 참고해 봅시다. [그림 1]의 (.. 2020. 6. 17.

37. 벡터장의 회전(Curl)과 발산(Divergence) 37.1. Divergence of a Vector Field. Gradient는 Scalar field에서 Vector field를 얻어냈습니다. 그 반대로 Divergence(발산)는 Vector field를 Scalar field로 바꾸는 도구입니다.

$xyz$ -직교 좌표계에서 미분 가능한 벡터 함수

$\mathbf {v}(x, y, z) = [v_1, v_2, v_3]$ 가 존재한다 합시다.

$\mathbf {v}$ 의 Divergence는 다음과 같이 정의됩니다. $\mathrm {div}\ \mathbf {v} = \frac {\partial v_1}{\partial x} + \frac {\partial v_2}{\partial y} + \frac {\partial v_3}{\partial z} .. 2020. 6. 13.

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