1. 1계 상미분방정식의 기본 개념

 제가 공업수학을 학습하는 데 사용한 교재는 <Advanced Engineering Mathematics> ^[각주:1]이고, 작성 순서 또한 이 책의 순서를 따르며 배우지 않은 내용은 누락될 수도 있습니다. 교재와 참고자료를 영어로 학습했기 때문에 주요 명칭이나 제목을 영어로 지칭할 수도 있습니다. (글 제목은 한글로 달아 두었습니다 - 2023/01/26 수정)

 

 1.1. Basic Concepts

 

 이 챕터의 주제는 ODE입니다. OED란 Ordinary Differential Equation의 준말로 상미분방정식을 지칭하는 말입니다. 상미분방정식이란 어떤 미지 함수가 독립 변수 하나만을 가지고 있는 미분방정식을 말합니다. 예를 들어 다음과 같은 방정식을 말합니다.

$y'=\sin x$

$y''+5y=0$

종속 변수 $y$는 오로지 단 하나의 독립 변수 $x$만을 가집니다. 만일 $y$의 독립변수가 여러개이며 편미분항을 포함하게 된다면 이 미분 방정식은 편미분방정식이 됩니다.

 이러한 상미분방정식을 풀게되면 $y=f(x)$의 형태로 독립 변수 $x$와 종속 변수 $y$의 함수꼴을 찾게 됩니다. 여기서 x에관한 y함수를 찾는 것이 목적입니다.

 

 1.2. General Solution, Inital value

 

 미분방정식에서 구한 미지 함수는 항상 적분 상수를 가지고 있습니다. 예를들어 $y'=\sin x$의 해는 $y=-\cos x + c$가 되는데, 적분 상수로 인해 미분방정식의 해집합은 무한한 원소를 가지게 됩니다. $c$의 값이 무엇이든 해가 되기 때문입니다. 여기서 이 적분상수 $c$를 포함한 미분방정식의 해를 General solution(일반해)라고 합니다.

 특정한 해를 찾기 위해서는 적분 상수 $c$의 값을 특정할 수 있으면 됩니다. 이 적분 상수를 구하기 위해 주는 값을 Initial condition이라 하고, 이러한 Initial condition이 포함된 ODE를 Initial value problem (IVP)라고 합니다.

 

 1.3. linear, non-linear

 

 linear와 non-linear의 차이는 일차 결합의 여부입니다. 종속변수 $y$와 그 미분항인 $y',y''$이 일차 결합만으로 이루어졌다면 linear(선형)이고, 그렇지 않다면 non-linear(비선형)입니다. 쉽게 말해서 종속 변수의 미분항 계수가 상수와 독립변수로만 이루어져있다면 linear하고, 그렇지 않은경우 non-linear합니다. 예를 들어보면 다음과 같은 미분방정식들이 있다고 하면

 $y''+\sin y = 0$ : non-linear

 $y''y+y = 0$ : non-linear

 $x^2y''+3xy+5=0$ : linear

첫번째 방정식은 종속변수$y$가 $\sin$함수에 있기 때문에 non-linear하고, 두번째 방정식은 $y''$의 계수가 종속 변수인 $y$이기 때문에 non-linear합니다. 이에 반해 세번째 미분방정식은 종속 변수 $y$의 계수가 모두 상수이거나 독립변수$x$에 대해서만 이루어져 있기 때문에 linear하다고 할 수 있습니다. 여기서 결론 지을 수 있는 사실은 독립변수는 선형 여부에 영향을 미치지 않는다는 것을 알 수 있습니다.

 

이번 포스팅은 상미분방정식의 기본 개념에 대하여 정리했습니다. 다음 포스팅은 상미분방정식을 푸는 주요 해법에 대하여 작성할 예정입니다.

1. Erwin Kreyszig, tenth edition [본문으로]