2. 변수 분리

 

 

 2.1. Separable ODEs.

 변수 분리는 대표적인 OED를 푸는 해법입니다. 다음과 같은 OED가 있다고 합시다.

$g(y)y' = f(x)$     (1)

양변에 $dx$를 곱하면 다음과 같이 변하게 됩니다.

$g(y)\frac{dy}{dx}dx = f(x)dx$     (2)

$f$와 $g$가 연속함수라면, 양변의 적분이 가능합니다. 양변을 각 변수에 대해 적분을 하게 되면

$\int g(y)dy = \int f(x)dx + c$     (3)

의 결과를 얻게 됩니다.

 (1)에서 볼 수 있듯이, 변수 분리를 이용하여 미분방정식을 풀기 위해서는 좌변은 오직 $y$에 대한 함수로만 이루어져 있어야 하고, 우변은 오직 $x$에 대한 함수로 이루어져 있어야 합니다. 두 가지 예제를 풀어보도록 하겠습니다.

 

 Ex) 1. $y^3y' + x^3 = 0$

 

 먼저 양변을 각각의 변수에 대해 정리하여 (1)의 형태로 만들어줍니다.

$y^3y' = -x^3$

 (2)와 같은 형태를 만들기 위하여 양변에 $dx$를 곱해주고 양변을 각 변수에 대하여 적분해줍니다.

$\int y^3dy = \int -x^3dx + c$

 적분을 수행하면 다음과 같이 됩니다.

$\frac{y^4}{4} = -\frac{x^4}{4} + c$

 양변에 4를 곱하여 식을 정리해줍니다. ($c$는 임의의 상수이기 때문에 $4c$를 다시 $c$로 써도 상관없습니다.)

$y^4 = -x^4 + c$

 

 Ex) 2. $y' = -xy + xy^2$

 

 먼저 식을 정리해봅시다.

$\frac{dy}{dx} = x(y^2-y)$

 (1)의 형태를 만들기 위해 양변을 각 변수에 대해 정리해봅시다.

$\frac{1}{y^2-y}\frac{dy}{dx} = x$

 양변에 $dx$를 곱하여 (2)의 형태를 만들고, 양변을 각 변수에 대해 적분합니다.

$\int \frac{dy}{y^2-y} = \int xdx$

 부분 분수의 변형 $\frac{1}{AB} = \frac{1}{B - A}(\frac{1}{B} - \frac{1}{A})$ 을 하면 좌변의 적분 함수를 $\frac{1}{y^2-y} = \frac{1}{y-1} - \frac{1}{y}$로 쓸 수 있습니다.

각 변의 부정적분을 수행하면

$\ln{|y-1|} - \ln{|y|} = \frac{1}{2}x^2 + c$

 좌변을 다시 정리하면

$\ln{|\frac{y-1}{y}|} = \frac{1}{2}x^2 + c$

 로그를 풀어줍니다. (임의의 적분 상수는 계속 $c$로 쓰겠습니다. 정확하게는 세번째 식의 $c$는 두번째 식의 적분상수 $e^c$와 같습니다.)

$\frac{y-1}{y} = e^{\frac{1}{2}x^2 + c} = ce^{\frac{1}{2}x^2}$

 이 식을 $y$에 대하여 정리하면 다음과 같은 결과를 얻게 됩니다.

$y = \frac{1}{1+ce^{\frac{1}{2}x^2}}$

 

 2.2. Reduction to Separable Form

 변수 분리를 하기 쉽게 만들기 위한 과정입니다. 다음과 같은 미분방정식이 있다고 합시다.

$y' = f(\frac{y}{x})$     (4)

 이때 $\frac{y}{x} = u$로 치환하면, $y= ux$로 쓸 수 있습니다. 여기서 양변을 $x$에 대해 미분하게 되면

$y' = (ux)' = u'x + u$     (5)

 (4)를 (5)에 대입하면

$u'x + u = f(u)$     (6)

 이를 $u$와 $x$에 대해 변수 분리를 수행합니다. 그렇게 되면 식은 다음과 같이 정리됩니다.

$\frac{du}{f(u) - u} = \frac{dx}{x}$     (7)

 예제를 하나 풀고 포스팅을 마치겠습니다.

 

 Ex) 3. $xy' = y + 2x^3\sin^2{\frac{y}{x}}$

 

 (4)의 형태로 만들기 위해 양변에 $\frac{1}{x}$를 곱합니다. 주어진 식은 다음과 같아집니다.

$y' = \frac{y}{x} + 2x^2\sin^2{\frac{y}{x}}$

 $\frac{y}{x} = u$로 치환하여 주어진 식에 대입하고, (5)를 이용하여 식을 다시 써보면 다음과 같습니다.

$u'x + u = u + 2x^2\sin^2{u}$

 식을 정리하고 (3)의 형태로 변수 분리를 수행합니다.

$\int \frac{du}{\sin^2{u}} = \int 2xdx + c$

 양변을 각 변수에 대하여 적분을 수행합니다.

$-\cot{u} = x^2 + c$

 치환한 $u = \frac{y}{x}$를 다시 대입하고 y에 대해 식을 정리하여 마무리합니다.

$y = -x \textrm{arccot}(x^2 + c)$