35. 역학의 곡선 : 속도, 가속도

35.1. Arc Length as Parameter.

 곡선 C의 위치 벡터를 $\mathbf {r}$이라 합시다. 지난 포스팅의 선형 요소에서, 다음 식을 구했습니다.

$(\frac {ds}{dt})^2 = |\mathbf {r}'(t)|^2 \cdots (1)$

 (1)에서 $t = s$를 대입합니다.

$(\frac {ds}{ds})^2 = 1 = |\mathbf {r}'(s)|^2 \cdots (2)$

 (2)에서 $|\mathbf {r}'(s)|$ = 1인 것을 알 수 있습니다. 즉 $\mathbf {r}'(s)$의 크기가 1이라는 말인데, 이는 $\mathbf {r}'(s)$는 단위 벡터라는 사실을 알았습니다.

$\mathbf {u}(s) = \mathbf {r}'(s)\cdots (3)$

 

35.2. Curves in Mechanics : Velocity, Acceleration.

 곡선 C를 경로를 따라 움직이는 점이 존재하고, 그 점이 시간 $t$일 때 곡선 C에서 위치 벡터를 $\mathbf {r}(t)$라 합시다. 이 위치 벡터의 시간에 따른 변화량은 속도(Velocity) 벡터인 $\mathbf {v}(t)$가 됩니다.

$\mathbf {v}(t) = \frac {d\mathbf {r}(t)}{dt} \cdots (4)$

 속력(Speed)은 속도 벡터의 크기입니다. 식으로 써보면 다음과 같습니다.

$|\mathbf {v}(t)| = |\mathbf {r}'(t)| = \sqrt {\mathbf {r}'(t) \cdot \mathbf {r}'(t)} = \frac {ds}{dt}\cdots(5)$

 (5)에서 속력은 이동 거리의 시간 변화량을 알 수 있습니다. (4)과 (5)를 비교해 보면 속도는 벡터이고, 속력은 스칼라 값을 확인할 수 있습니다.

 가속도는 속도의 시간 변화량입니다. 식으로 쓰면 다음과 같습니다.

$\mathbf {a}(t) = \mathbf {v}'(t) = \mathbf {r}''(t) \cdots (6)$

 가속도는 접선 방향 가속도와 수직 방향 가속도로 나눌 수 있습니다. 접선 방향 가속도를 $\mathbf {a}_t$라 하고, 수직 방향 가속도를 $\mathbf {a}_n$이라 합시다.

$\mathbf {a} = \mathbf {a}_t + \mathbf {a}_n\cdots (7)$

 $\mathbf {a}$와 $\mathbf {v}$를 구해봅시다. 연쇄법칙으로 $\mathbf {v}$를 다음과 같이 구할 수 있습니다.

$\mathbf {v}(t) = \frac {d\mathbf {r}}{dt} = \frac {d\mathbf {r}}{ds} \frac {ds}{dt} \cdots (8)$

 (8)을 (3)을 이용해 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

$\mathbf {v}(t) = \frac {d\mathbf {r}}{ds} \frac {ds}{dt} = \mathbf {u}(s) \frac {ds}{dt} \cdots (9)$

 (9)를 (6)에 대입해 봅시다.

$\mathbf {a}(t) = \frac {d\mathbf {v}}{dt} = \frac {d}{dt}\left(\mathbf {u}(s)\frac {ds}{dt}\right) = \frac {d\mathbf {u}}{ds}\left(\frac {ds}{dt}\right)^2 + \mathbf {u}(s)\frac {d^2s}{dt^2}\cdots (10)$

 (3)에서 $\mathbf {u}(s) = \mathbf {r}'(s)$이고, $|\mathbf {r}'(s)| = 1$로 크기가 일정합니다. 즉, $\mathbf {u}(s)$는 크기가 1로 일정한 벡터입니다. 앞선 포스팅의 예제에서, 크기가 일정한 벡터는 미분한 벡터와 수직함을 알았습니다.

 $if\ \ |\mathbf {u}(s)| = 1,\qquad \mathbf {u}(s) \cdot \mathbf {u}'(s) = 0\cdots (11)$

 $\mathbf {u}(s)$의 방향은 접선 벡터와 같습니다. (11)에 따라, $\frac {d\mathbf {u}}{ds}$은 $\mathbf {u}(s)$에 수직한 벡터가 됩니다. 이제 (7)과 (10)을 비교하면 다음과 같음을 알 수 있습니다.

 $\mathbf {a}_t = \mathbf {u}(s)\frac {d^2s}{dt^2}$,       $\mathbf {a}_n = \frac {d\mathbf {u}}{ds}\left(\frac{ds}{dt}\right)^2\cdots (12)$

 이제 (12)를 벡터의 연산으로 나타내 봅시다. 접선 방향 가속도 $\mathbf {a}_t$를 먼저 생각해 봅시다. $\mathbf {a}_t$와 $\mathbf {a}$의 사이각을 $\gamma$라고 합시다. 다음을 만족합니다.

$|\mathbf {a}_t| = |\mathbf {a}||\cos {\gamma}|\cdots(13)$

 벡터의 내적을 이용해 봅시다. 구할 수 있는 벡터 $\mathbf {v}$를 가져옵니다. $\mathbf {v}$와 $\mathbf {a}_t$는 같은 방향이므로, 사이각 $\gamma$를 그대로 쓸 수 있습니다.

$|\mathbf {a} \cdot \mathbf {v}| = |\mathbf {a}||\mathbf {v}||\cos {\gamma}|\cdots (14)$

 (14)를 $|\cos {\gamma}|$에 대하여 정리합시다.

$|\cos {\gamma}| = \frac {|\mathbf {a} \cdot \mathbf {v}|}{|\mathbf {a}||\mathbf {v}|} \cdots (15)$

 (15)를 (13)에 대입합니다.

$|\mathbf {a}_t| = \frac {|\mathbf {a} \cdot \mathbf {v}|}{|\mathbf {v}|} \cdots (16)$

 $\mathbf {a}_t$의 크기를 구했으니 이제 방향을 나타내는 단위 벡터를 곱하면 $\mathbf {a}_t$를 구할 수 있겠습니다. $\mathbf {a}_t$의 방향은 $\mathbf {v}$의 방향과 같으므로, 단위 벡터를 다음과 같이 구할 수 있습니다.

$\frac {1}{|\mathbf {v}|} \mathbf {v}\cdots (17)$

 (16)과 (17)을 곱하면 $\mathbf {a}_t$를 구할 수 있습니다.

$\mathbf {a}_t = \frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {v}}{|\mathbf {v}|^2} \mathbf {v} = \frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {v}}{\mathbf {v} \cdot \mathbf {v}} \mathbf {v} \cdots (18)$

 (18)을 (7)에 대입하면, $\mathbf {a}_n$을 구할 수 있습니다.

$\mathbf {a}_n = \mathbf {a} - \mathbf {a}_t = \mathbf {a} - \frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {v}}{\mathbf {v} \cdot \mathbf {v}} \mathbf {v}\cdots (19)$

 예제를 풀어봅시다.

 

Ex) $\mathbf {r}(t) = [R\cos {(\omega t)},R\sin {(\omega t)}].$   $\mathbf {v}$, $\mathbf {a}$?

 (4)를 이용해 $\mathbf {v}$를 구해봅시다.

$\mathbf {v} = \frac {d\mathbf {r}}{dt} = [-\omega R\sin {(\omega t)},\omega R \cos {(\omega t)}]\cdots (20)$

 (6)을 이용해 $\mathbf {a}$를 구해봅시다.

$\mathbf {a} = \frac {d\mathbf {v}}{dt} = [-\omega^2 R\cos {(\omega t)},-\omega^2 R \sin {(\omega t)}]\cdots (21)$

 

Sol) $\mathbf {v}(t) = [-\omega R\sin {(\omega t)},\omega R \cos {(\omega t)}]$,      $\mathbf {a}(t) = [-\omega^2 R\cos {(\omega t)},-\omega^2 R \sin {(\omega t)}]$

 

 이번 포스팅은 여기서 마치겠습니다. 다음 포스팅에서 Gradient of a Scalar Field에 대하여 다룰 예정입니다.