14. 수렴 구간, 수렴 반경

 Power series의 일반적인 형태는 다음과 같습니다.

 $\sum_{m=0}^{\infty} a_m(x-x_0)^m = a_0 + a_1(x - x_0) + a_2(x - x_0)^2 +... $     (1)

여기서 $n$번째 항까지의 부분합을 가져옵니다.

 $S_n(x) = a_0 + a_1(x-x_0) + a_2(x-x_0)^2 + ... + a_n(x - x_0)^n$     (2)

(1)에서 (2)부분을 제외한 식을 $R_n(x)$라 하면, $R_n(x)$는 다음과 같습니다.

 $R_n(x) = a_{n+1}(x - x_0)^{n + 1} + a_{n+2}(x - x_0)^{n+2} +... $     (3)

$x = x_1$일 때, (1)가 수렴한다고 가정합시다. 그렇다면

 $\lim_{n \rightarrow \infty} S_n(x_1) = S(x_1) $     (4)

(1)은 $x=x_1$일 때 수렴하는 급수이고 그 값은 (4)와 같습니다. 또한 $S(x_1)$은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

 $S(x_1) = \sum_{m=0}^{\infty} a_m(x_1 - x_0)^m$     (5)

모든 $n$에 대하여

 $S(x_1) = S_n(x_1) + R_n(x_1)$     (6)

을 만족함을 알 수 있습니다.

 수렴하는 경우, (6)의 식을 참고하여 임의의 양수 $\epsilon$에 대하여 다음을 만족하는 $N$이 존재합니다.

 $|R_n(x_1)| = |s(x_1) - s_n(x_1)| < \epsilon$          (for all $n > N)$     (7)

 만일 $x$에 다른 값을 넣어서 수렴하게 된다면, 이 값들은 어떤 구간을 형성하게 됩니다. 이 구간을 Convergnece interval이라고 합니다. 만일 $x$가 이 Convergence interval 내에 있는 값이라면 수렴하게 되고, 구간 안의 모든 값 $x$에 대하여 다음을 만족한다고 합시다.

 $|x - x_0| < R$     (8)

이 때 R이 Radius of convergence라고 합니다. Convergence interval과 Radius of convergence를 이해하기 쉽게 그림으로 나타내면 다음과 같습니다.

이미지 출처 : https://www.google.com/url?sa=i&url=http%3A%2F%2Flawsonmath.weebly.com%2Fap-calculus-bc&psig=AOvVaw1VpQufKht9Scu18nB7Q5Xh&ust=1587822737461000&source=images&cd=vfe&ved=0CA0QjhxqFwoTCOih2-magekCFQAAAAAdAAAAABAt

 급수의 값을 수렴하게 만드는 $x$값들의 구간이 Convergence interval이고, 구간 양 끝의 값을 $x_0 - R$, $x_0 + R$이라 하면, 이때 $R$의 값을 Radius of convergence라고 합니다. 그림에서 Convergence interval의 절반에 해당하는 값이겠네요. 만일 모든 $x$에 대하여 수렴할 경우 $R = \infty$임을 알 수 있습니다.

 Radius of convergence의 값은 대부분 다음과 같은 두 공식을 이용해서 구합니다.

$R = \frac {1}{\lim_{m \rightarrow \infty} \sqrt [m]{|a_m|}}$     (9a)              $R = \frac {1}{\lim_{m \rightarrow \infty} |\frac {a_{m+1}}{a_m}|}$     (9b)

 예제를 몇가지 풀어 보면서 Radius of convergence를 구해보도록 하겠습니다.

 

 Ex) 1. $e^x = \sum_{m=0}^{\infty} \frac {x^m}{m!}$

 $a_m$을 먼저 구합니다.

$a_m = \frac {1}{m!}$     (10)

 (10)을 (9b)에 대입합니다.

$|\frac {a_{m+1}}{a_m}| = |\frac {\frac {1}{(m+1)!}}{\frac {1}{m!}}| = \frac {1}{m+1}$

$R = \frac{1}{\lim_{m \rightarrow \infty} \frac {1}{m+1}} \rightarrow \infty$

 

sol) $R \rightarrow \infty$. 모든 $x$에 대해 수렴하는 급수.

 

 Ex) 2. $\frac {1}{1-x} = \sum_{m=0}^{\infty} x^m$

 $a_m$을 구합니다.

$a_m = 1$     (11)

(11)을 (9b)에 대입합니다.

$R = \frac {1}{\lim_{m \rightarrow \infty} |\frac {a_{m+1}}{a_m}|} = 1$

 

sol) $R = 1$

 

 Ex) 3. $\sum_{m=0}^{\infty} \frac {(-1)^m}{8^m} x^{3m}$

 $a_m$을 구합니다.

$a_m = \frac {(-1)^m}{8^m}$     (12)

(12)를 (9b)에 대입합니다.

$|\frac {a_{m+1}}{a_m}| = |\frac {\frac {(-1)^{m+1}}{8^{m+1}}}{\frac {(-1)^m}{8^m}}| = \frac {8^m}{8^{m+1}} = \frac {1}{8}$

$R = \frac {1}{\lim_{m \rightarrow \infty} \frac {1}{8}} = 8$

 

sol) $R = 8$

 

 이번 포스팅까지 Power series를 이용해 ODE를 푸는 방법을 마쳤습니다. 다음 포스팅은 Laplace transform에 관한 내용을 작성할 예정입니다.