13. 상미분방정식의 급수 해법

 미적분학에서 초월함수를 무한급수로 나타낼 수 있음을 배웠었습니다. 이 급수를 Power series라고도 부릅니다. 기본 형태를 살펴보면 다음과 같습니다.

 $\sum_{m=0}^{\infty} a_{m}(x-x_{0})^m = a_0 + a_1(x-x_0) + a_2(x-x_0)^2 +...$     (1)

여기서 만일 $x_0 = 0$이라면, 식을 더 간단하게 나타낼 수 있습니다.

 $\sum_{m=0}^{\infty} a_mx^m = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + ...$     (2)

(2)와 같은 형태의 급수를 Maclaurin series 라고도 합니다.

 

cf) Maclaurin series 로 자주 나오는 함수의 예

$\frac {1}{1-x} = \sum_{m=0}^{\infty} x^m = 1 + x + x^2 + x^3 +...$       ($|x| < 1$)

$e^x = \sum_{m=0}^{\infty} \frac {x^m}{m!} = 1 + x + \frac {x^2}{2!} + \frac {x^3}{3!} +...$

$\cos {x} = \sum_{m=0}^{\infty} \frac {(-1)^{m} x^{2m}}{(2m)!} = 1 - \frac {x^2}{2!} + \frac {x^4}{4!} -...$

$\sin {x} = \sum_{m=0}^{\infty} \frac {(-1)^{m} x^{2m+1}}{(2m+1)!} = x - \frac {x^3}{3!} + \frac {x^5}{5!} -...$

 

 이제 Power series를 이용하여 ODE를 풀어봅시다. Second order homogeneous ODE $y'' + p(x) y' +q(x) y = 0$가 주어질 때, $y$를 다음과 같다고 합시다.

$y = \sum_{m=0}^{\infty} a_mx^m = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 +...$     (3)

$y' = \sum_{m=1}^{\infty} ma_mx^{m-a} = a_1 + 2a_2x + 3a_3x^2 + ...$     (4)

$y'' = \sum_{m=2}^{\infty} m(m-1) a_mx^{m-2} = 2a_2 + 3\cdot2 a_3x + 4\cdot3 a_4x^2 +...$     (5)

 (3), (4), (5)를 ODE에 대입하고 동류항의 계수를 비교하고 구하면 solution을 구할 수 있습니다. 예제를 몇 가지 풀어보겠습니다.

 

 Ex) 1. $y' = 2xy$

 (3), (4)를 주어진 문제에 대입해 봅시다.

$a_1 + 2a_2x + 3a_3x^2 + 4a_4x^3 +... = 2x(a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 +...)$

$= 2a_0x + 2a_1x^2 + 2a_2x^3 +...$     (6)

(6)의 동류항끼리의 계수를 비교해 봅시다.

$a_1 = 0$     $2a_2 = 2a_0$     $3a_3 = 2a_1$     $4a_4 = 2a_2$     $5a_5 = 2a_3$     $6a_6 = 2a_4$     (7)

(7)에서 $a_{2m-1}$인 항은 모두 $0$이 된다는 것을 알 수 있습니다. $a_{2m}$항을 정리해보면

$a_2 = a_0$    $a_4 = \frac {a_2}{2}= \frac {a_0}{2}$     $a_6 = \frac {a_4}{3} = \frac {a_0}{3!}$     (8)

(8)의 규칙성을 보면 일반항을 다음과 같음을 알 수 있습니다.

$a_{2m} = \frac {a_0}{m!}$     (9)

구해진 계수를 바탕으로 (3)에 대입하고 정리합니다.

$y = a_0(1+ x^2 + \frac {x^4}{2!} + \frac {x^6}{3!} + \frac {x^4}{4!} + ...) = a_0e^{x^2}$     (10)

 

sol) $y = a_0e^{x^2}$

 

 Ex) 2. $y'' + y = 0$

(3), (5)를 먼저 가져옵니다. (3)은 다음과 같이도 쓸 수 있습니다.

 $y''= \sum_{m=2}^{\infty} m(m-1) a_mx^{m-2} = \sum_{m=0}^{\infty} (m+2)(m+1) a_{m+2} x^m$     (11)

 $y = \sum_{m=0}^{\infty} a_mx^m$      (12)

(11), (12)를 주어진 문제에 대입합니다.

 $\sum_{m=0}^{\infty} (m+2)(m+1) a_{m+2} x^m + \sum_{m=0}^{\infty} a_mx^m = 0$     (13)

(13)의 일반항의 계수 항만 가져와 비교하면 다음과 같습니다.

 $(m+2)(m+1) a_{m+2} + a_m = 0$     (14)

(14)를 정리하여 점화식을 얻습니다.

 $a_{m+2} = -\frac {a_m}{(m+2)(m+1)}$     (15)

(15)에 자연수를 대입해 각 계수를 구합니다.

 $a_2 = - \frac {a_0}{2\cdot1} = - \frac {a_0}{2!}$           $a_3 = - \frac {a_1}{3\cdot2} = - \frac {a_1}{3!}$

 $a_4 = - \frac {a_2}{4\cdot3} = \frac {a_0}{4!}$           $a_5 = - \frac {a_3}{5\cdot4} = \frac {a_1}{5!}$      (16)

(16)에서 구한 계수들을 (3)에 대입합니다.

 $y = a_0 + a_1x - \frac {a_0}{2!} x^2 - \frac {a_1}{3!} x^3 + \frac {a_0}{4!} x^4 + \frac {a_1}{5!} x^5 -...$

 $= a_0(1 - \frac {x^2}{2!} + \frac {x^4}{4!} -...) + a_1(x - \frac {x^3}{3!} + \frac {x^5}{5!} - ...) = a_0\cos {x} + a_1\sin {x}$

 

sol) $y = a_0\cos {x} + a_1\sin {x}$

 

 이번 포스팅은 여기서 마치겠습니다. 다음 포스팅은 Convergence interval, Radius of convergence에 대하여 작성할 예정입니다.