11. 비제차 상미분방정식 - 미정계수법

 Second-order ODE의 기본 형태는 다음과 같음을 알고 있습니다.

$y'' + p(x) y' + g(x) y = r(x)$     (1)

(1)에서 $r(x) = 0$이면 homogeneous ODE임을 알고 있습니다. 그렇다면 $r(x) \neq 0$라면 Nonhomogeneous ODE겠죠? Nonhomogeneous ODE의 Solution $y$는 다음과 같이 나타냅니다.

$y(x) = y_{h}(x) + y_{p}(x)$     (2)

(2)에서 $y_{h}$는 homogeneous ODE의 General solution이고, $y_{p}$는 Particular solution이라 합니다.

새로 추가된 항 $y_{p}$가 있는 만큼, Nonhomogeneous ODE의 solution은 $y_{p}$를 구하는 것이 관건입니다. 이를 구하기 위해선 크게 두 방법이 있는데, 이번 포스팅에서는 먼저 Undetermined coefficients 방법에 대해 작성하겠습니다.

 Undetermined coefficients는 상수 계수를 갖는 Linear ODE에 적합한 방법입니다. 다음과 같은 Nonhomogeneous ODE가 있다고 합시다.

 $y'' + ay' + by = r(x)$(단, $a$,$b$는 임의의 상수)     (3)

 Undetermined coefficients는 (3)의 $r(x)$에 따라 적합한 $y_{p}$의 형태를 고른 후 미정 계수를 구하여 solution을 구하는 방법입니다. $r(x)$에 따른 $y_{p}$의 형태는 다음 표를 참고하시면 됩니다.

 

$r(x)$	choice for $y_{p}$
$ke^{rx}$	$ce^{rx}$
$kx^n$	$k_{n}x^{n} + k_{n-1}x^{n-1} + ... + k_{1}x + k_{0}$
$k\cos{wx}$	$M\cos{wx} + N\sin{wx}$
$k\sin{wx}$
$ke^{\alpha x}\cos{wx}$	$e^{\alpha x}(M\cos{wx} + N\sin{wx})$
$ke^{\beta x}\sin{wx}$

Undetermined coefficients 방법에 따라야 하는 규칙이 있습니다. Choice rule이라 하는데, 다음 세 가지 규칙을 따릅니다.

 

Choice rules)

 1. $r(x)$형태에 해당하는 $y_{p}$ 형태를 선택하고, ODE에 $y_{p}$를 대입하여 미정 계수를 구합니다.

 2. 만일 $y_{p}$와 $y_{h}$가 같다면, $y_{p}$에 $x$를 곱합니다. (homogeneous solution이 characteristic equation에서

    중근을 가진다면 $x^2$을 곱합니다.)

 3. 만일 $r(x)$가 여러 함수의 합이라면, 각 함수에 해당하는 $y_{p}$의 합으로 나타냅니다.

 

예제 3개를 풀어 Choice rules의 3가지를 이해해 봅시다.

 

Ex) 1. $y'' - y = \sin {x}$

 먼저 $y_{h}$를 구해봅시다. $y'' - y = 0$의 solution을 구하면 되겠죠. Characteristic equation을 구해봅시다.

$\lambda^2 - 1 = 0$     (4)

 (4)에서 $\lambda$의 값은 -1과 1이 되겠습니다. 서로 다른 두 실근이므로 $y_{h}$는 다음과 같습니다.

$y_{h} = c_{1} e^{x} + c_{2} e^{-x}$     (5)

 $y_{p}$를 구하기 위해서 표에서 $r(x)$에 대응하는 적합한 $y_{p}$의 형태를 골라봅시다. $r(x) = \sin {x}$이므로

$y_{p} = A\cos {x} + B\sin {x}$     (6)

 (6)의 양변을 두 번 미분하면 다음과 같습니다.

$y_{p}'' = -A\cos {x} -B\sin {x}$     (7)

 (6)과 (7)을 주어진 ODE에 대입해봅시다.

$-A\cos {x} - B\sin {x} - A\cos {x} - B\sin {x} = \sin {x}$     (8)

 (8)을 정리하면

$-2A\cos {x} - 2B\sin {x} = \sin {x}$     (9)

 (9)에서 미정 계수 $A$,$B$를 구합니다. $A = 0$, $B=-\frac {1}{2}$가 됩니다. (6)에 대입하여 $y_{p}$를 구합니다.

$y_{p} = -\frac {1}{2}\sin {x}$     (10)

 (5)와 (10)으로 solution을 구합니다.

 

sol) $y = y_{h} + y_{p} = c_{1} e^{x} + c_{2} e^{-x} - \frac {1}{2}\sin {x}$

 

Ex) 2. $y'' + 3y' + 2.25y = -10e^{-1.5x}$

 $y_{h}$를 먼저 구해봅시다. Characteristic equation을 구하면

$\lambda^2 + 3\lambda + 2.25 = (\lambda + 1.5)^2 = 0$     (11)

 $\lambda = -3$을 가지는 중근이네요. 따라서 $y_{h}$는 다음과 같습니다.

$y_{h} = (c_{1} + c_{2} x) e^{-1.5x}$     (12)

 Rule 2에 의하여 표에 해당하는 $y_{p}$에 $x^2$을 곱하여 $y_{p}$를 선택합니다.

$y_{p} = Ax^{2} e^{-1.5x}$     (13)

 (13)의 양변을 미분하여 $y_{p}'$,$y_{p}''$를 구합니다.

$y_{p}' = A(2x - 1.5x^2) e^{-1.5x}$     (14)

$y_{p}'' = A(2 - 6x + 2.25x^2) e^{-1.5x}$     (15)

 (13), (14), (15)를 주어진 문제에 대입해 봅시다.

$A(2 - 6x + 2.25x^2) e^{-1.5x} + 3A(2x - 1.5x^2) e^{-1.5x} + 2.25Ax^2e^{-1.5x} = -10e^{-1.5x}$     (16)

 (16)을 정리하면 다음과 같습니다.

$2Ae^{-1.5x} = -10e^{-1.5x}$     (17)

 $A = -5$라는 것을 알았네요. 구해진 미정 계수를 통해 (13)식을 구합니다.

$y_{p} = -5x^2e^{-1.5x}$     (18)

(12), (18)으로 solution을 구합니다.

 

sol) $y = y_{h} + y_{p} = (c_{1} + c_{2} x) e^{-1.5x} - 5x^2e^{-1.5x}$

 

Ex) 3. $y'' + 2y' + 0.75y = 2\cos {x} - 0.25\sin {x} + 0.09x$

 $y_{h}$를 구하기 위해 characteristic equation을 먼저 구합니다.

$\lambda^2 + 2\lambda + 0.75 = (\lambda + 1.5)(\lambda + 0.5) = 0$     (19)

 (19)에서 $\lambda = -1.5$, $\lambda = -0.5$임을 구했으므로 $y_{h}$를 알 수 있습니다.

$y_{h} = c_{1} e^{-0.5x} + c_{2} e^{-1.5x}$     (20)

 $r(x)$에 따른 $y_{p}$를 정할 차례입니다. Rule 3을 이용합니다. $y_{p} = y_{p1} + y_{p2}$라 하고, 삼각함수 항은 $y_{p1}$으로, 다항함수는 $y_{p2}$에 대응한다고 생각합니다. $y_{p1}$과 $y_{p2}$는 다음과 같습니다.

 $y_{p1} = A\cos {x} + B\sin {x}$     (21)

 $y_{p2} = Cx + D$     (22)

Rule 3에 따라, (21)과 (22)의 합은 $y_{p}$와 같습니다.

 $y_{p} = A\cos {x} + B\sin {x} + Cx + D$      (23)

(23)의 양변을 미분하여 다음을 얻습니다.

 $y_{p}' = -A\sin {x} + B\cos {x} + C$     (24)

 $y_{p}'' = -A\cos {x} - B\sin {x}$     (25)

(23), (24), (25)를 주어진 문제에 대입해봅시다.

 $-A\cos {x} - B\sin {x} + 2(-A\sin {x} + B\cos {x} + C) + 0.75(A\cos {x} + B\sin {x} + Cx + D)$

 $= 2\cos {x} - 0.25\sin {x} + 0.09x$     (26)

(26)을 정리하면 다음과 같습니다.

 $(-A + 2B + 0.75A)\cos {x} + (-B - 2A + 0.75B)\sin {x} + 0.75Cx + (2C + 0.75D)$

 $= 2\cos {x} - 0.25\sin {x} + 0.09x$     (27)

(27)에서 미정 계수를 구하면 $A = 0$, $B = 1$, $C = 0.12$, $D = -0.32$임을 알 수 있습니다. 이 값을 (23)에 대입하면 $y_{p}$를 구할 수 있습니다.

 $y_{p} = \sin {x} + 0.12x - 0.32$     (28)

(20)과 (28)으로 solution을 구할 수 있습니다.

 

sol) $y = y_{h} + y_{p} = c_{1} e^{-0.5x} + c_{2} e^{-1.5x} + \sin {x} + 0.12x - 0.32$

 

다음 포스팅은 Nonhomogeneous ODE를 푸는 또 다른 방법인 Variation of Parameters에 대한 포스팅을 작성할 예정입니다.