15. 라플라스 변환

 Laplace transform에 대하여 작성할 차례가 왔네요. 미분방정식을 푸는 정말 강력한 도구입니다. 쉽게 생각하면 방정식을 다른 domain으로 바꾸어 풀기 쉬운 식으로 바꾸고, 구한 solution을 원래 domain으로 바꾸어 가져온다고 생각하시면 됩니다. 먼저 어떤 것이 Laplace transform인지 알아봅시다.

 

 1. Laplace Transform

 $f(t)$의 모든 $t$에 대하여 $t \geq 0$이면, 이 함수의 Laplace transform 한 함수 $F(s)$는 $e^{-st}$를 곱하고 0부터 $\infty$까지 정적분 한 함수로 나타냅니다. 식으로 나타내면 다음과 같습니다.

 $F(s) = L(f) = \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) dt$     (1)

예를 들어 대표적인 함수 몇 가지를 Laplace transform 해보겠습니다.

 

 Ex) 1. $f(t) = 1$     $(t \geq 0)$

 (1)에 대입해 봅시다.

$F(s) = L(1) = \int_{0}^{\infty} e^{-st}\cdot 1 dt = - \frac {1}{s} e^{-st}|_{0}^{\infty} = \frac {1}{s}$

 

 sol) $F(s) = \frac {1}{s}$

 

 Ex) 2. $f(t) = e^{at}$     $(t \geq 0)$

 (1)에 대입해 봅시다.

$F(s) = L(e^{at}) = \int_{0}^{\infty} e^{-st}\cdot e^{at} dt = - \frac {1}{s-a} e^{-(s-a)t}|_{0}^{\infty} = \frac {1}{s-a}$     $(s - a > 0)$

 

 sol) $F(s) = \frac {1}{s-a}$     $(s - a > 0)$

 

 Ex) 3. $f(t) = t^n$

 (1)에 대입해 봅시다.

$F(s) = L(t^n) = \int_{0}^{\infty} e^{-st} \cdot t^n dt$    

 부분적분법 $\int f(x) g'(x) dx = f(x) g(x) - \int f'(x) g(x) dx$을 이용하여 적분합시다.

$\int_{0}^{\infty} e^{-st} \cdot t^n dt = -\frac {1}{s} e^{-st} t^n|_{0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty} \frac {n}{s} e^{-st} t^{n-1} dt = \frac {n}{s} L(t^{n-1})$     (2)

 (2) 마지막항의 Laplace transform을 계속 수행합니다.

$\frac {n}{s} L(t^{n-1}) = \frac {n}{s} \frac {n-1}{s} L(t^{n-2}) =... = \frac {n!}{s^{n+1}}$

 

 sol) $F(s) = \frac {n!}{s^{n+1}}$

 

 2. Linearity of the Laplace Transform

 임의의 함수 $f(t)$,$g(t)$의 Laplace transform이 존재하고, 임의의 상수 $a,b$와 $f(t)$,$g(t)$로 구성된 함수 $af(t)+bg(t)$ 또한 Laplace transform이 존재한다면, 다음 식을 만족합니다.

 $L(af(t) + bg(t)) = aL(f(t)) + bL(f(t))$     (3)

왜 그런지 살펴볼까요. 먼저 $af(t) + bg(t)$를 (1)에 대입합시다.

 $L(af(t) + bg(t)) = \int_{0}^{\infty} e^{-st}[af(t) + bg(t)]dt$     (4)

적분의 기본 공식으로 (4)을 정리 해 봅시다.

 $\int_{0}^{\infty} e^{-st}[af(t) + bg(t)]dt = a \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) dt + b \int_{0}^{\infty} e^{-st} g(t) dt$     (5)

(5)의 $\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)dt$, $\int_{0}^{\infty} e^{-st}g(t)dt$는 각각 $L(f(t))$, $L(g(t))$와 같다고 (1)을 통해 알 수 있습니다. 식을 다시 정리하면 (3)를 얻게 됩니다.

 $\therefore L(af(t) + bg(t)) = a L(f(t)) + b L(g(t))$

이 공식으로 얻을 수 있는 Laplace transform 형태를 예제를 통해 알아보겠습니다.

 

 Ex) 4. $f(t) = \cos {\omega t}, g(t) = \sin {\omega t}$

 Euler's formula에서, 다음과 같음을 알고있습니다.

$e^{i\omega t} = \cos {\omega t} + i\sin {\omega t} = f(t) + ig(t)$     (6)

 이제 (6)를 (1)에 대입해 봅시다.

$L(e^{i\omega t}) = \int_{0}^{\infty} e^{-st} e^{i\omega t} dt = \int_{0}^{\infty} e^{-(s-i\omega) t} dt$     (7)

 (7)의 적분을 수행합니다.

$\int_{0}^{\infty} e^{-(s-i\omega)t}dt = - \frac {1}{s-i\omega} e^{-(s-i\omega) t}|_{0}^{\infty} = \frac {1}{s-i\omega} = \frac {s+i\omega}{s^2+\omega^2}$     (8)

(3)과 (8)의 결과로 다음과 같음을 알 수 있습니다.

$L(e^{i\omega t}) = L(f(t)) + iL(g(t)) = \frac {s+i\omega}{s^2+\omega^2}$     (9)

 

sol) $L(f(t)) = \frac {s}{s^2+\omega^2}$, $L(g(t)) = \frac {\omega}{s^2 + \omega^2}$

 

 Ex) 5. $f(t) = \cosh {at}$

 $\cosh$의 정의에 따라, $\cosh {at}$는 다음과 같습니다.

$\cosh {at} = \frac {e^{at} + e^{-at}}{2}$     (10)

(10)을 (1)에 대입합니다. (3)으로 인해 다음과 같이 나타납니다.

$L(\cosh {at}) = \frac {1}{2} L(e^{at}) + \frac {1}{2} L(e^{-at})$     (11)

 Ex 2에서 지수함수의 Laplace transform을 알고 있습니다. 대입해 주면

$\frac {1}{2} L(e^{at}) + \frac {1}{2} L(e^{-at}) = \frac {1}{2} \frac {1}{s-a} + \frac {1}{2} \frac {1}{s+a} = \frac {s}{s^2 - a^2}$     (12)

 

 sol) $L(f(t)) = \frac {s}{s^2 - a^2}$

 

같은 방법으로 $\sinh {at}$의 Laplace transform은 $L(\sinh {at}) = \frac {a}{s^2 - a^2}$임을 알 수 있습니다.

 

 3. First shifting theorem, s - shifting

 임의의 함수 $f(t)$의 Laplace transform $F(s)$가 존재하면 함수 $e^{at} f(t)$의 Laplace transform 은 다음과 같다는 정리입니다.

 $L(e^{at} f(t)) = F(s-a)$     (13)

식을 증명하기 위해 $F(s-a)$를 먼저 구해봅시다. (1)에 대입합니다.

 $F(s-a) = \int_{0}^{\infty} e^{-(s-a) t} f(t) dt = \int_{0}^{\infty} e^{-st}[e^{at} f(t)]dt = L(e^{at} f(t))$     (14)

(14)의 결과로 $F(s-a) = L(e^{at} f(t))$임을 알 수 있습니다.

 s-shifting 공식으로 $e^{at}\cos {\omega t}$, $e^{at}\sin {\omega t}$와 같은 함수의 Laplace transform을 다음과 같이 쉽게 도출할 수 있습니다.

 $L(e^{at}\cos {\omega t}) = \frac {s-a}{(s-a)^2 + \omega^2}$

 $L(e^{at}\sin {\omega t}) = \frac {\omega}{(s-a)^2 + \omega^2}$

 

지금까지 대표적인 함수들의 Laplace transform을 표로 정리해 보겠습니다.

$f(t)$	$L(f)$
$1$	$\frac {1}{s}$
$e^{at}$	$\frac {1}{s-a}$
$t^n$	$\frac {n!}{s^{n+1}}$
$\cos {\omega t}$	$\frac {s}{s^2 + \omega^2}$
$\sin {\omega t}$	$\frac {\omega}{s^2 + \omega^2}$
$\cosh {at}$	$\frac {s}{s^2 - a^2}$
$\sinh {at}$	$\frac {a}{s^2 - a^2}$
$e^{at}\cos {\omega t}$	$\frac {s-a}{(s-a)^2 + \omega^2}$
$e^{at}\sin {\omega t}$	$\frac {\omega}{(s-a)^2 + \omega^2}$

이번 포스팅에서 여러 함수들의 Laplace transform에 대하여 알아보았습니다. 다음 포스팅에서 미분항과 적분항의 Laplace transform에 대하여 작성할 예정입니다.