12. 비제차 상미분방정식 - 매개변수 변환법

 Homogeneous ODE의 General solution은 다음과 같습니다.

 $y_{h} = c_{1} y_{1} + c_{2} y_{2}$     (1)

여기서 임의의 상수 $c_{1}$, $c_{2}$를 $x$에 대한 함수 $u(x)$와 $v(x)$로 바꾼 것에서 아이디어를 가져옵니다. 식을 다시 써봅시다.

 $y_{p} = u(x)y_{1}(x) + v(x) y_{2}(x)$     (2)

(2)의 $y_{p}$가 Particular solution이라 합시다. (2)의 양변을 미분하여 미분항을 구합니다.

 $y_{p}' = u'y_{1} + uy_{1}' + v'y_{1} + vy_{2}'$     (3)

간단히 하기 위해 $u'y_{1} + v'y_{2} =0$을 만족한다고 합시다. (3)식은 다음과 같이 간단히 변합니다.

 $y_{p}' = uy_{1}' + vy_{2}'$     (4)

(4)의 양변을 미분합시다.

 $y_{p}'' = u'y_{1}' + uy_{1}'' + v'y_{2}' + vy_{2}''$     (5)

(2), (4), (5)를 Nonhomogeneous ODE $y'' + p(x) y' + q(x) y = r(x)$에 대입한 뒤, 식을 정리해줍니다.

 $u(y_{1}'' + py_{1}' + qy_{1}) + v(y_{2}'' + py_{2}' + qy_{2}) + u'p_{1}' + u'y_{2}' = r$     (6)

$y_{1}$과 $y_{2}$가 homogeneous ODE의 solution이므로, (6)은 다음과 같이 간단해집니다.

 $u'y_{1}' + v'y_{2}' = r$     (7)

또한 조건에서

 $u'y_{1} + v'y_{2} = 0$     (8)

(7)과 (8)을 행렬로 써보면 다음과 같습니다.

 $\begin{bmatrix}{y_{1}} & {y_{2}} \\{y_{1}'} & {y_{2}'} \end {bmatrix} \begin {bmatrix}{u'} \\{v'} \end {bmatrix} = \begin {bmatrix}{0} \\{r} \end {bmatrix}$     (9)

(9)를 풀어 $u'$, $v'$를 구하면 다음과 같습니다.

 $u' = -\frac{y_{2}r}{y_{1}y_{2}'-y_{1}'y_{2}}$     (10a),     $v' = \frac {y_{1} r}{y_{1} y_{2}'-y_{1}'y_{2}}$     (10b)

$W = y_{1}y_{2}'-y_{1}'y_{2}$이므로, (10a), (10b)를 더 간단히 쓸 수 있습니다.

 $u' = -\frac{y_{2}r}{W}$     (11a),     $v' = \frac {y_{1} r}{W}$     (11b)

(11a), (11b)의 양변을 적분하여 $u$,$v$를 구할 수 있습니다.

 $u = -\int \frac{y_{2}r}{W}dx$     (12a),     $v = \int \frac {y_{1} r}{W} dx$     (12b)

예제를 풀며 포스팅을 마무리 하겠습니다.

 

Ex) 1. $x^2y'' - 2xy' + 2y = x^2$

 $y_{h}$를 먼저 구해봅시다. homogeneous ODE꼴은 $x^2y'' - 2xy' + 2y = 0$입니다. Euler-Cauchy equation이네요.

$y = x^m$이라 합시다. 미분항을 구하면 $y' = mx^{m-1}$, $y'' = m(m-1) x^{m-2}$이 됩니다. 주어진 문제에 대입하고 정리하면 식은 다음과 같습니다.

 $(m^2 - 3m + 2) x^m = 0$     (13)

(13)에서, $m_{1} = 1$, $m_{2} = 2$임을 알 수 있습니다. 이제 $y_{h}$를 구하면

 $y_{h} = c_{1} x + c_{2} x^2$     (14)

$y_{p}$를 다음과 같다고 합시다.

 $y_{p} = uy_{1} + vy_{2}$     (15)

$W$를 구해봅시다.

 $W = det {\begin {bmatrix}{x} & {x^2} \\{1} & {2x} \end {bmatrix}} = x^2$     (16)

주어진 문제의 양변을 $x^2$을 나누어봅시다.

 $y'' + \frac {2}{x} y' + \frac {2}{x^2} = 1$     (17)

(17)에서 $r = 1$ 임을 알 수 있습니다. (11a), (11b)를 이용해 $u'$, $v'$를 구해봅시다.

 $u' = -\frac {x^2 \cdot 1}{x^2} = -1$     (18a),     $v' = \frac{x \cdot 1}{x^2} = \frac {1}{x}$     (18b)

(18a), (18b)을 적분하여 $u$,$v$를 구합니다.

 $u = \int u'dx = \int -1 dx = -x$     (19a),     $v = \int \frac {1}{x} dx = \ln {x}$     (19b)

(19a), (19b)를 (15)에 대입하여 $y_{p}$를 구합니다.

 $y_{p} = -x \cdot x + \ln{x} \cdot x^2 = -x^2 + x^{2}\ln {x}$     (20)

(14)와 (20)으로 solution을 구합니다.

 

 sol) $y = y_{h} + y_{p} = c_{1} x + c_{2} x^2 + x^2\ln {x}$

 

Second Order ODE 파트가 모두 끝났네요. 다음 포스팅은 Serial solutions에 관해 포스팅하겠습니다.