16. 상미분방정식의 미분항과 적분항의 라플라스 변환

 1. Laplace Transform of Derivatives

 미분항의 Laplace transform은 다음과 같습니다.

$L(f') = sL(f) - f(0)$     (1)

$L(f'') = s^2L(f) - sf(0) - f'(0)$     (2)

 증명해 보겠습니다. 먼저 Laplace transform 공식에 대입해 봅시다.

$L(f') = \int_{0}^{\infty} e^{-st} f'(t) dt$     (3)

부분 적분법을 이용해 (3)의 적분항을 풀어줍니다.

$\int_{0}^{\infty} e^{-st} f'(t)dt = e^{-st} f(t)|_{0}^{\infty} + s\int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) dt = sL(f) - f(0)$

$\therefore L(f') = sL(f) - f(0)$     (4)

 

$L(f'')$를 구하기 위해 (4)의 결과를 이용합시다.

$L(f'') = sL(f') - f'(0) = s(sL(f) - f(0)) - f'(0) = s^2L(f) - sf(0) - f'(0)$

$\therefore L(f'') = s^2L(f) - sf(0) - f'(0)$

 

 (1),(2)을 보시면 $f(0)$,$f'(0)$이 식에 있음을 알 수 있습니다. 이 말은 곧 Initial condition이 제시되어야 Laplace transform을 이용하여 미분방정식을 풀 수 있음을 의미합니다. 미분항의 Laplace transform을 이용하여 적분항의 Laplace transform 또한 알 수 있습니다.

 

 2. Laplace Transform of Integral

 적분항의 Laplace transform은 다음과 같습니다.

$L(\int_{0}^{t} f(\tau) d\tau) = \frac {1}{s} F(s)$     (5)

 (5)를 유도하기 위해 먼저 $g(t) = \int_{0}^{t} f(\tau) d\tau$라 합시다. 양변을 t에 대하여 미분하면 $g'(t) = f(t)$임을 알 수 있습니다. (4)를 통해 다음과 같습니다.

$L(g'(t)) = sL(g(t)) - g(0)$     (6)

$g(t) = \int_{0}^{t} f(\tau) d\tau$이라 하였으므로, $g(0) = 0$임을 알 수 있습니다. (6)을 다시 정리하면

$L(f(t)) = sL(g(t))$     (7)

 (7)에서 다시 $g(t) = \int_{0}^{t} f(\tau) d\tau$을 대입하고 정리하면 (5)를 얻을 수 있습니다.

$\therefore L(\int_{0}^{t} f(\tau)d\tau) = \frac {1}{s} F(s)$

 예제를 몇 가지 풀어보도록 하겠습니다.

 

Ex) 1. $L^{-1}(\frac {1}{s(s^2 + \omega^2)})$

 먼저 Laplace transform 기본형 태인 $L^{-1}(\frac {1}{s^2 + \omega^2}) = \frac {1}{\omega}\sin {\omega t}$임을 알고 있습니다. 주어진 문제는 이 함수의 적분항임을 알 수 있습니다. (5)를 통해 다음과 같습니다.

$\therefore L^{-1}(\frac {1}{s(s^2 + \omega^2)}) = \int_{0}^{t} \frac {1}{\omega} \sin {\omega \tau} d\tau$     (8)

 (8)에서 구한 적분을 풀어줍니다.

$\int_{0}^{t} \frac {1}{\omega} \sin {\omega \tau}d\tau = - \frac {1}{\omega^2} \cos {\omega \tau}|_{0}^{t} = \frac {1}{\omega^2} (1 - \cos {\omega t})$

 

 sol) $L^{-1}(\frac {1}{s(s^2 + \omega^2)}) = \frac {1}{\omega^2} (1 - \cos {\omega t})$

 

Ex) 2. $y'' - y = t$,     $y(0) = 1$,     $y'(0) = 1$

 먼저 주어진 식의 양변을 Laplace transform 합시다. 식을 간단히 하기 위해 $L(y) = Y$라 씁시다.

$s^2Y - sy(0) - y'(0) - Y = \frac {1}{s^2}$     (9)

 (9)의 식을 정리 해 봅시다.

$(s^2 - 1) Y = \frac {1}{s^2} + s + 1$     (10)

 (10)을 $Y$에 대하여 다시 써 봅시다.

$Y = \frac {1}{s^2(s^2 -1)} + \frac {1}{s - 1} = \frac {1}{s^2 - 1} - \frac {1}{s^2} + \frac {1}{s - 1}$     (11)

 (11)을 다시 역변환합니다. 따라서 $y(t)$는

$y(t) = \sinh {t} - t +e^{t}$

 

 sol) $y(t) = \sinh {t} - t +e^{t}$

 

 Ex) 3. $y'' + y = 2t$,     $y(\frac {\pi}{4}) = \frac {\pi}{2}$,     $y'(\frac {\pi}{4}) = 2 - \sqrt {2}$

 (1), (2)를 사용하기 위해서는 $0$에서 함숫값이 필요합니다. 다음과 같다고 합시다.

$t = \tilde {t} + \frac {\pi}{4}$     (12)

 또한 (12)에서 $dt = d\tilde {t}$, $dt^2 = d\tilde {t}^2$임을 알 수 있습니다. 이를 바탕으로 주어진 식을 $\tilde {t}$에 대한 식으로 고쳐줍니다. 주어진 식은 다음과 같아집니다.

$\tilde {y}'' + \tilde {y} = 2(\tilde {t} + \frac {\pi}{4})$     (13)

 주어진 함숫값 또한 바뀝니다.

$\tilde {y}(0) = \frac {\pi}{2}$,     $\tilde {y}'(0) = 2 - \sqrt {2}$     (14)

 이제 Ex. 2와 유사한 문제가 되었습니다. (14)를 토대로 (13)을 Laplace transform 합니다.

$s^2\tilde {Y} - s\tilde{y}(0) - \tilde{y}'(0) + \tilde{Y} = s^2\tilde{Y} - s\cdot \frac {\pi}{2} - (2 - \sqrt {2}) + \tilde{Y} = \frac {2}{s^2} + \frac {\frac {\pi}{2}}{s}$     (15)

 (15)를 정리합니다.

$(s^2 + 1)\tilde {Y} = \frac {2}{s^2} + \frac {\pi}{2s} + \frac {\pi s}{2} + 2 - \sqrt {2}$     (16)

 (16)을 $\tilde {Y}$에 대하여 정리합니다.

$\tilde {Y} = \frac {2}{s^2(s^2 + 1)} + \frac {\pi}{2s(s^2 + 1)} + \frac {\pi s}{2(s^2 + 1)} + \frac {2 - \sqrt {2}}{s^2 + 1} = 2(\frac {1}{s^2} - \frac {1}{s^2 + 1}) + \frac {\pi}{2}(\frac {1}{s} - \frac {s}{s^2 +1}) + \frac {\pi s}{2(s^2 + 1)} + \frac {2 - \sqrt {2}}{s^2 + 1}$    (17)

 (17)의 역변환을 수행합니다.

$\tilde {y} = L^{-1}(\tilde {Y}) = 2(\tilde {t} - \sin {\tilde t}) + \frac {\pi}{2}(1 - \cos {\tilde t} + \frac {\pi}{2} \cdot \cos {\tilde t} + (2 - \sqrt {2})\sin {\tilde t} = 2\tilde {t} + \frac {\pi}{2} - \sqrt {2} \sin {\tilde t}$     (18)

 (18)에 (12)를 대입합니다.

$y = 2t - \sqrt {2} \sin {(t - \frac {\pi}{4})}$     (19)

 (19)는 $\sin$의 덧셈 정리로 더 간단하게 적을 수 있습니다.

$y = 2t - \sin {t} + \cos {t}$

 

sol) $y = 2t - \sin {t} + \cos {t}$

 

 다음 포스팅은 unit step function에 대하여 작성할 예정입니다.