전공 정리/공업수학48 8. 상수 계수를 갖는 제차 선형 상미분방정식 다음과 같은 Homogeneous linear ODE가 있다고 합시다. $a$, $b$는 임의의 상수입니다. $y'' + ay' + by = 0$ (1) 앞서 우리는 First order ODE의 상수 계수를 가질 때 solution을 다음과 같음을 알고 있습니다. $y' + ky = 0$, $y = ce^{-kx}$ 이를 Second order로도 적용해 봅시다. solution을 다음과 같다고 합시다. $y = e^{\lambda x}$ (2) 미분을 차례대로 해봅시다. $y' = \lambda e^{\lambda x}$ (3) $y'' = \lambda^2 e^{\lambda x}$ (4) (2), (3), (4)를 (1)에 대입하여 식을 정리합시다. $(\lambda^2 + a\lambda + b.. 2020. 4. 16. 7. 2계 선형 상미분방정식 7.1. Homogeneous Linear ODEs of Second Order Second order linear ODE란 다음과 같은 형태를 가진 미분방정식을 말합니다. $y'' + p(x) y' + q(x) y = r(x)$ (1) 여기서 $r(x) = 0$이면 homogeneous, $r(x) \neq 0$이면 non-homogeneous임을 알고 있습니다. homogeneous linear ODE에 대해 먼저 살펴보겠습니다. 식을 다시 써봅시다. $y'' + p(x)y' + q(x) y = 0$ (2) Second order ODE이기 때문에 solution은 두 가지가 나온다는 것을 알고 있습니다. 각각의 solution을 $y_{1}$,$y_{2}$라고 합시다. 이 미분방정식의 General.. 2020. 4. 16. 6. 베르누이 미분방정식 Bernoulli equation은 다음과 같은 형태의 non-linear first order ODE입니다. $y' + p(x) y = g(x) y^a$ (1) 지금까지 학습한 방법으로는 풀기 어려워 보입니다. 하지만 치환을 이용하여 식을 적절히 변형하면 (1)을 linear ODE 바꿀 수 있습니다. 먼저 $u = y^{1-a}$라 합시다. 양변을 $y$에 대하여 미분하면 다음과 같습니다. $u' = (1-a)y^{-a}y'$ (2) (1)에서 $y' = gy^a-py$를 얻을 수 있습니다. 이 식을 (2)에 대입합시다. $u' = (1-a)y^{-a}(gy^a-py)$ (3) 괄호를 풀어 식을 정리해봅시다. $u' = (1-a)(g-py^{1-a}) = (1-a)(g-pu) = (1-a) g - p.. 2020. 4. 14. 5. 1계 선형 상미분방정식 First-Order linear ODE란 다음과 같은 형태의 미분방정식을 말합니다. $y' + p(x) y = r(x)$ (1) 이때 $p, r$은 $x$에 대한 함수입니다. 가장 높은 차수의 미분항이 일계도함수이기 때문에 First-order이고, 종속 변수 $y$의 계수가 모두 $x$에 대한 함수로 이루어져 있기 때문에 주어진 미분방정식은 linear 합니다. 따라서 First-order linear ODE임을 알 수 있습니다. 5.1. homogeneous linear ODE (1)에서 $r(x) = 0$인 ODE를 homogeneous linear ODE라고 합니다. 미분방정식을 다시 쓰면 $y' + p(x)y = 0$ (2) 가 됩니다. 변수분리로 풀면 어렵지 않게 풀 수 있겠네요. Gener.. 2020. 4. 14. 이전 1 ··· 8 9 10 11 12 다음