7. 2계 선형 상미분방정식

7.1. Homogeneous Linear ODEs of Second Order

 Second order linear ODE란 다음과 같은 형태를 가진 미분방정식을 말합니다.

 $y'' + p(x) y' + q(x) y = r(x)$     (1)

 여기서 $r(x) = 0$이면 homogeneous, $r(x) \neq 0$이면 non-homogeneous임을 알고 있습니다. homogeneous linear ODE에 대해 먼저 살펴보겠습니다. 식을 다시 써봅시다.

 $y'' + p(x)y' + q(x) y = 0$     (2)

Second order ODE이기 때문에 solution은 두 가지가 나온다는 것을 알고 있습니다. 각각의 solution을 $y_{1}$,$y_{2}$라고 합시다. 이 미분방정식의 General solution은 $y_{1}$,$y_{2}$의 선형 결합인 $y = c_{1} y_{1} + c_{2} y_{2}$로 나타납니다. 증명은 다음을 참고합시다.

 Proof)

 $y'' + p(x)y' + q(x) y = (c_{1} y_{1} + c_{2} y_{2})'' + p(x)(c_{1} y_{1} + c_{2} y_{2})' + q(x)(c_{1} y_{1} + c_{2} y_{2})$

$= c_{1}(y_{1}'' + p(x) y_{1}' + q(x) y_{1}) + c_{2}(y_{2}'' + p(x) y_{2}' + q(x) y_{2}) = 0$

 

 7.2. Initial Value Problem

General solution을 특정하기 위해서는 $c_{1}$, $c_{2}$를 구해야 합니다. 미지수가 2개이므로 Initial condition은 2가지가 필요하겠죠. Initial condition으로 다음과 같이 2가지를 줍니다.

 $y(x_{0}) = K_{0}$,     $y'(x_{0}) = K_{1}$     (3)

$c_{1}$, $c_{2}$의 값을 알 수 있게 되므로 solution을 구할 수 있겠습니다.

 

 7.3. Basis

General solution $y = c_{1} y_{2} + c_{2} y_{2}$에서 $y_{1}$, $y_{2}$를 가져와 다음과 같은 식을 만들어 봅시다.

 $k_{1} y_{1}(x) + k_{2} y {2}(x) = 0$      (4)

(4)에서 $k_{1}$, $k_{2}$는 임의의 상수입니다. 식을 만족하기 위해서 두 가지 경우가 있습니다.

 $k_{1} = k_{2} = 0$     (5)

 $k_{2} \neq 0$   or   $k_{2} \neq 0$     (6)

 여기서 (5)의 경우를 Linearly independent, (6)의 경우를 Linearly dependent라고 합니다. Linearly independent 한 $y_{1}$, $y_{2}$를 미분방정식 solution의 Basis라고 합니다. Linearly dependent한 $y_{1}$, $y_{2}$은 basis가 될 수 없습니다.

 Linearly dependent한 $y_{1}$, $y_{2}$은 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.

 $y_{1} = - \frac {k_{2}}{k_{1}} y_{2}$     (7)

 $- \frac {k_{2}}{k_{1}}$는 임의의 상수 $c$로 치환하면 (7)은 $y_{1} = cy_{2}$과 같이 표현됩니다. 비례함을 알 수 있네요. 따라서 $y_{1}$과 $y_{2}$가 서로 비례 관계이면 Linearly dependent 하고, basis가 될 수 없음을 알 수 있네요.

 

 7.4 Reduction of Order

 Second order linear ODE에서 하나의 Basis를 알고 있을 때, 다른 Basis는 First order ODE를 풂으로써 얻을 수 있습니다. 먼저 이미 알고 있는 Basis를 $y_{1}$라 하고 구하려는 Basis를 $y_{2}$라 합시다. 다음과 같이 쓸 수 있겠네요.

 $y_{2} = u(x) y_{1}$     (8)

양변을 $x$에 대하여 미분해 봅시다.

 $y_{2}' = u'y_{1} + uy_{1}'$     (9)

한번 더 미분해 봅시다.

 $y_{2}'' = u''y_{1} + u'y_{1}' + u'y_{1}' + uy_{1}'' = u''y_{1} + 2 u'y_{1}' + uy_{1}''$     (10)

Second order linear ODE 기본 형태에 (9)와 (10)을 대입합시다.

 $u''y_{1} + 2u'y_{1}' + uy_{1}'' + p(u'y_{1} + uy_{1}') + quy_{1} = 0$     (11)

$u''$, $u'$, $u$끼리 식을 정리해 봅시다.

 $u''y_{1} + u'(2y_{1} + py_{1}) + u(y_{1}'' + py_{1}' + qy_{1}) = 0$     (12)

$y_{1}'' + py_{1}' + qy_{1} = 0$임을 알고 있습니다. 그렇다면 $u$의 항은 모두 소거되겠네요. $u'' = U'$, $u' = U$라 치환하면 (12)의 식은 다음과 같습니다.

 $U' + U(\frac {2y_{1}' + py_{1}}{y_{1}}) = 0$     (13)

(13)식은 First Order linear ODE가 되었네요. 변수 분리를 이용하여 식을 풀어봅시다.

 $\frac {dU}{U} = - (\frac {2y_{1}'}{y_{1}} + p) dx$     (14)

양변을 각 변수에 대하여 적분합시다.

 $\ln {|U|} = -2\ln {|y_{1}|} - \int pdx = \ln {|\frac {1}{y_{1}^2}|} - \int pdx$     (15)

로그를 풀기 위해 우변을 하나의 항으로 만들어봅시다.

 $\ln {|U|} = \ln {|\frac {1}{y_{1}^2}|} + \ln {e^{\int -pdx}} = \ln {(|\frac {1}{y_{1}^2}| \cdot e^{\int -pdx})}$     (16)

로그를 풀면 식은 다음과 같습니다.

 $U = \frac {1}{y_{1}^2} e^{\int -pdx}$      (17)

$u = \int Udx$이므로 $y_{2}$는 다음과 같이 정리됩니다.

$\therefore y_{2} = y_{1} u = y_{1}\int Udx = y_{1}\int \frac {1}{y_{1}^2} e^{\int -pdx} dx$     (18)

예제 하나를 풀고 포스팅을 마치겠습니다.

 

Ex) 1. $(x^2-x) y'' - xy' + y = 0$      $y_{1} = x$

편의상 $y_{2} = y$라 표기하겠습니다.

 $y=ux$, $y' = u'x +u$, $y'' = u''x + 2u'$     (19)

(19)를 주어진 식을 대입합니다.

 $(x^2-x)(u''x + 2u') - x(u'x +u) + ux = 0$     (20)

(20)을 $u''$, $u'$끼리 정리합시다.

 $x(x^2-x) u'' + x(x-2) u' = 0$     (21)

$u''= U'$,   $u' = U$라 치환하고 양변을 변수 분리합니다.

 $\frac {dU}{U} = -\frac {x-2}{x^2-x} dx = -\frac {x-2}{x(x-1)}dx = (\frac {1}{x-1} - \frac {2}{x})dx$     (22)

양변을 각 변수에 대하여 적분합니다.

 \ln {|U|} = ln {|x-1|} - 2\ln {|x|} = \ln {|\frac {x-1}{x^2}|}     (23)

(23)에서 $U$를 얻을 수 있습니다.

 $U = \frac {x-1}{x^2}$     (24)

(24)를 적분하여 $u$를 얻습니다.

 $u = \int Udx = \int \frac {x-1}{x^2} dx = \int \frac {1}{x} - \frac {1}{x^2} dx = \ln {|x|} + \frac {1}{x}$     (25)

(25)를 (19)에 대입하여 $y_{2}$를 구합니다.

 sol) $y_{2} = ux = x(\ln {|x|} + \frac {1}{x}) = x\ln {|x|} + 1$