8. 상수 계수를 갖는 제차 선형 상미분방정식

 다음과 같은 Homogeneous linear ODE가 있다고 합시다. $a$, $b$는 임의의 상수입니다.

 $y'' + ay' + by = 0$     (1)

앞서 우리는 First order ODE의 상수 계수를 가질 때 solution을 다음과 같음을 알고 있습니다.

 $y' + ky = 0$,     $y = ce^{-kx}$

 이를 Second order로도 적용해 봅시다. solution을 다음과 같다고 합시다.

 $y = e^{\lambda x}$     (2)

 미분을 차례대로 해봅시다.

 $y' = \lambda e^{\lambda x}$     (3)

 $y'' = \lambda^2 e^{\lambda x}$     (4)

(2), (3), (4)를 (1)에 대입하여 식을 정리합시다.

 $(\lambda^2 + a\lambda + b) e^{\lambda x} = 0$     (5)

(5)의 일부분을 가져온 식 $\lambda^2 + a\lambda + b = 0$를 Characteristic equation이라고 합니다. characteristic equation을 만족하는 두 근 $\lambda_{1}$, $\lambda_{2}$은 근의 공식에 의하여 구할 수 있습니다.

 $\lambda_{1,2} = \frac {1}{2}(-a \pm \sqrt {a^2 - 4b})$     (6)

여기서 $\sqrt {a^2 - 4b}$의 부호에 따라 3가지 경우로 나뉘게 됩니다. 각 경우에 따라 살펴보도록 하겠습니다.

 

Case) 1. $\sqrt {a^2 - 4b} > 0$

 이 경우에는 $\lambda$가 서로 다른 두 실수가 됩니다. 각 각 $\lambda_{1}$, $\lambda_{2}$라 하고 Basis를 구해봅시다,

 $y_{1} = e^{\lambda_{1} x}$     (7)

 $y_{2} = e^{\lambda_{2} x}$     (8)

(7)과 (8)은 서로 Linearly independent 하므로 General solution은 (7)과 (8)의 일차 결합으로 나타나게 됩니다.

 $\therefore y = c_{1} e^{\lambda_{1} x} + c_{2} e^{\lambda_{2} x}$     (9)

 

Case) 2. $\sqrt {a^2 - 4b} = 0$

이 경우에 $\lambda = -\frac {a}{2}$인 중근입니다. 여기서 하나의 solution을 구할 수 있습니다.

 $y_{1} = e^{-\frac {a}{2} x}$     (10)

Reduction of order의 방법으로 풀어봅시다.

 $y_{2} = uy_{1}$     (11)

 $y_{2}' = u'y_{1} + uy_{1}'$     (12)

 $y_{2}'' = u''y_{1} + 2 u'y_{1}' + uy_{1}''$     (13)

(11), (12), (13)을 $y'' + py' + qy = 0$에 대입하고, 정리하면 다음과 같음을 저번 포스팅에서 다루었습니다.

 $u'' + u'(\frac {2y_{1}' + py_{1}}{y_{1}}) = 0$     (14)

$2y_{1}' + py_{1}$을 대입해보면

 $2y_{1}' + py_{1} = -ae^{-\frac {a}{2} x} + ae^{-\frac {a}{2}x} = 0$     (15)

(15)의 결과로 (14)에서 $u'' = 0$임을 알 수 있습니다. 두 번 적분하게 되면 $u$에 대한 식

 $u = c_{1} x + c_{2}$     (16)

(16)을 간단히 하기 위해 $c_{1} = 1$,   $c_{2} = 0$이라 하면

 $u = x$     (17)

라고 할 수 있습니다. (17)을 (11)에 대입하면 다음의 결과를 얻게 됩니다.

 $y_{2} = xy_{1} = xe^{-\frac {a}{2} x}$     (18)

$y_{1}$, $y_{2}$를 모두 구했으니 General solution은 다음과 같습니다.

 $\therefore y = (c_{1} + c_{2} x) e^{- \frac {a}{2} x}$

 

Case) 3. $\sqrt {a^2 - 4b} < 0$

 여기서 $\lambda$는 서로 다른 두 허근을 갖습니다. 식으로 표현하면 다음과 같습니다.

 $\lambda_{1,2} = - \frac {a}{2} \pm i\omega$    $(\omega > 0, \omega^2 = b - \frac {1}{4} a^2)$

$\lambda$를 대입하면

 $y_{1,2} = e^{-\frac {a}{2} x \pm i\omega x}$     (19)

Euler's formula $e^{ix} = \cos {x} + i\sin {x}$를 이용하여 (19)를 간단하게 만들어 봅시다.

 $y_{1} = e^{-\frac {a}{2} x + i\omega x} = e^{-\frac {a}{2} x}(\cos {\omega x} + i\sin {\omega x})$     (20)

 $y_{2} = e^{-\frac {a}{2}x - i\omega x} = e^{-\frac {a}{2}x}(\cos {\omega x} - i\sin {\omega x})$     (21)

(20), (21)의 일차 결합으로 General solution을 구해봅시다.

 $y = c_{1} y_{1} + c_{2} y_{2} = e^{-\frac {a}{2} x}((c_{1} + c_{2}) \cos {\omega x} + (c_{1} - c_{2})i\sin {\omega x})$     (22)

상수 계수를 정리하면 General solution을 얻을 수 있습니다.

 $\therefore y = e^{-\frac {a}{2} x}(A\cos {\omega x} + B\sin {\omega x})$     (23)

 

이번 포스팅은 여기서 마치겠습니다. 다음 포스팅은 Euler-Cauchy Equation에 대하여 작성할 예정입니다.