전공 정리/공업수학48 16. 상미분방정식의 미분항과 적분항의 라플라스 변환 1. Laplace Transform of Derivatives 미분항의 Laplace transform은 다음과 같습니다. $L(f') = sL(f) - f(0)$ (1) $L(f'') = s^2L(f) - sf(0) - f'(0)$ (2) 증명해 보겠습니다. 먼저 Laplace transform 공식에 대입해 봅시다. $L(f') = \int_{0}^{\infty} e^{-st} f'(t) dt$ (3) 부분 적분법을 이용해 (3)의 적분항을 풀어줍니다. $\int_{0}^{\infty} e^{-st} f'(t)dt = e^{-st} f(t)|_{0}^{\infty} + s\int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) dt = sL(f) - f(0)$ $\therefore L(f') = sL.. 2020. 4. 28. 15. 라플라스 변환 Laplace transform에 대하여 작성할 차례가 왔네요. 미분방정식을 푸는 정말 강력한 도구입니다. 쉽게 생각하면 방정식을 다른 domain으로 바꾸어 풀기 쉬운 식으로 바꾸고, 구한 solution을 원래 domain으로 바꾸어 가져온다고 생각하시면 됩니다. 먼저 어떤 것이 Laplace transform인지 알아봅시다. 1. Laplace Transform $f(t)$의 모든 $t$에 대하여 $t \geq 0$이면, 이 함수의 Laplace transform 한 함수 $F(s)$는 $e^{-st}$를 곱하고 0부터 $\infty$까지 정적분 한 함수로 나타냅니다. 식으로 나타내면 다음과 같습니다. $F(s) = L(f) = \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) dt$ (1) .. 2020. 4. 27. 14. 수렴 구간, 수렴 반경 Power series의 일반적인 형태는 다음과 같습니다. $\sum_{m=0}^{\infty} a_m(x-x_0)^m = a_0 + a_1(x - x_0) + a_2(x - x_0)^2 +... $ (1) 여기서 $n$번째 항까지의 부분합을 가져옵니다. $S_n(x) = a_0 + a_1(x-x_0) + a_2(x-x_0)^2 + ... + a_n(x - x_0)^n$ (2) (1)에서 (2)부분을 제외한 식을 $R_n(x)$라 하면, $R_n(x)$는 다음과 같습니다. $R_n(x) = a_{n+1}(x - x_0)^{n + 1} + a_{n+2}(x - x_0)^{n+2} +... $ (3) $x = x_1$일 때, (1)가 수렴한다고 가정합시다. 그렇다면 $\lim_{n \rightarrow \i.. 2020. 4. 24. 13. 상미분방정식의 급수 해법 미적분학에서 초월함수를 무한급수로 나타낼 수 있음을 배웠었습니다. 이 급수를 Power series라고도 부릅니다. 기본 형태를 살펴보면 다음과 같습니다. $\sum_{m=0}^{\infty} a_{m}(x-x_{0})^m = a_0 + a_1(x-x_0) + a_2(x-x_0)^2 +...$ (1) 여기서 만일 $x_0 = 0$이라면, 식을 더 간단하게 나타낼 수 있습니다. $\sum_{m=0}^{\infty} a_mx^m = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + ...$ (2) (2)와 같은 형태의 급수를 Maclaurin series 라고도 합니다. cf) Maclaurin series 로 자주 나오는 함수의 예 $\frac {1}{1-x} = \sum_{m=0}^{\infty} .. 2020. 4. 24. 이전 1 ··· 6 7 8 9 10 11 12 다음
