6. 베르누이 미분방정식

 Bernoulli equation은 다음과 같은 형태의 non-linear first order ODE입니다.

$y' + p(x) y = g(x) y^a$     (1)

 지금까지 학습한 방법으로는 풀기 어려워 보입니다. 하지만 치환을 이용하여 식을 적절히 변형하면 (1)을 linear ODE 바꿀 수 있습니다.

 먼저 $u = y^{1-a}$라 합시다. 양변을 $y$에 대하여 미분하면 다음과 같습니다.

$u' = (1-a)y^{-a}y'$     (2)

 (1)에서 $y' = gy^a-py$를 얻을 수 있습니다. 이 식을 (2)에 대입합시다.

$u' = (1-a)y^{-a}(gy^a-py)$     (3)

괄호를 풀어 식을 정리해봅시다.

$u' = (1-a)(g-py^{1-a}) = (1-a)(g-pu) = (1-a) g - p(1-a) u$

$\therefore u' + p(1-a) u = (1-a) g$      (4)

(4)식은 $u$에 대한 First order linear ODE임을 알 수 있습니다. 여기서 $u$에 대한 general solution을 구한 뒤 치환한 $u$를 다시 $y$에 대해 풀면 $y$에 대한 general solution을 얻을 수 있습니다. 예제를 풀어봅시다.

 

Ex) 1. $y' + xy = xy^{-1}$

 

 치환을 먼저 해봅시다.

 $u = y^{1-a} = y^2$      (5)

(5)의 양변을 $y$에 대하여 미분합니다.

 $u' = 2yy' = 2y(xy^{-1}-xy) = 2x - 2xy^2 = 2x - 2xu$     (6)

(6)을 First order linear ODE의 일반적 형태로 다시 써 봅시다.

 $u' + 2xu = 2x$     (7)

(7)은 non-homogeneous 형태입니다. 저번 포스팅의 공식을 대입하기 위하여 먼저 $h = \int pdx$를 구해봅시다.

 $h = \int 2 xdx = x^2$     (8)

이제 공식 $y = e^{-h}\int e^hrdx + ce^{-h}$에 대입해 봅시다.

 $u = e^{-x^2}\int e^{x^2}2 xdx + ce^{-x^2} = e^{-x^2}\cdot e^{x^2} + ce^{-x^2} = 1 + ce^{-x^2}$     (9)

(5)를 다시 (9)에 대입하고 식을 다시 $y$에 대해 정리하여 general solution을 구합니다.

 sol) $y = \pm \sqrt {ce^{-x^2} + 1}$

 

First Order ODE에 대한 포스트는 이제 끝났네요. 다음 포스트부터 Second order ODE에 대하여 작성할 예정입니다.