9. 오일러-코시 방정식(Euler-Cauchy Equation)

 다음과 같은 형태의 방정식을 Euler-Cauchy equation이라 합니다.

 $x^2y'' + axy' + by = 0$     (1)

Solution을 $y = x^m$이라 합시다. 차례대로 미분하면

 $y' = mx^{m-1}$     (2a),      $y'' = m(m-1) x^{m-2}$     (2b)

(2a), (2b)를 (1)에 대입하면 다음과 같습니다.

 $x^2m(m-1)x^{m-2} + axmx^{m-1} + bx^m = 0$     (3)

(3)식을 정리하면

 $(m^2 + (a-1)m +b) x^m = 0$     (4)

(4)에서 Characteristic equation을 얻을 수 있습니다.

 $m^2 + (a-1)m + b = 0$     (5)

근의 공식을 이용하여 (5)의 근을 구해 봅시다.

 $m_{1,2} = \frac {1}{2} (1-a) \pm \sqrt {\frac {1}{4}(1-a)^2 - b}$     (6)

근호 항의 부호에 따라 3가지 경우가 나올 수 있겠습니다. 각 경우에 대하여 General solution을 구해 봅시다.

 

Case) 1. 서로 다른 두 실근 $m_{1}$, $m_{2}$

서로 다른 두 실근을 가진다면 다음과 같은 두 Basis를 얻을 수 있습니다.

 $y_{1}(x) = x^{m_{1}}$     (7a),     $y_{2}(x) = x^{m_{2}}$     (7b)

(7a)와 (7b)의 일차 결합으로, General solution을 얻을 수 있습니다.

 $\therefore y = c_{1} x^{m_{1}} + c_{2} x^{m_{2}}$     (8)

 

Case) 2. 중근

 $(1-a)^2 - 4b = 0$이라면 $m = \frac {1}{2}(1-a)$이게 됩니다. 주어진 미분방정식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

 $x^2y'' + axy' + \frac {1}{4}(1-a)^2y = 0$     (9)

$m$을 알고 있으므로 하나의 solution을 구할 수 있습니다.

 $y_{1} = x^m = x^{\frac {1}{2}(1-a)}$     (10)

Reduction of order 포스트에서, 다음의 식을 얻었습니다.

 $u = \int Udx$,   $U = \frac {1}{y_{1}^2}e^{-\int pdx}$     (11)

(11)을 이용하려면 $p$를 구해야 합니다. (9)의 양변에 $x^2$을 나눕니다.

 $y'' + \frac {a}{x}y' + \frac {(1-a)^2}{4x^2} y = 0$     (12)

(12)에서 $p = \frac {a}{x}$임을 알았습니다. 이제 (11)에 식을 대입합시다,

 $\int pdx = \int \frac {a}{x}dx = a\ln {|x|} = \ln {|x|^a}$     (13)

 $e^{- \int pdx} = e^{- \ln {|x|}^a} = x^{-a}$     (14)

 $U = \frac {1}{y_{1}^2}e^{-\int pdx} = \frac {1}{x^{1-a}} {x^{-a}}$     (15)

(15)의 양변을 $x$에 대하여 적분하여 $u$를 구합니다.

 $u = \int Udx = \int \frac {x^{-a}}{x^{1-a}}dx = \int \frac {1}{x} dx = \ln {x}$     (16)

 $\therefore y_{2} = uy_{1} = x^m\ln {x}$     (17)

(10)과 (17)에서 General solution을 구할 수 있습니다.

 $\therefore y = (c_{1} + c_{2}\ln {x})x^m$     (18)

 

Case)3. 서로 다른 두 허근

 서로 다른 두 허근이 다음과 같다고 합시다.

 $m_{1} = \alpha + i\beta$     (19)

 $m_{2} = \alpha - i\beta$     (20)

(19), (20)을 각각 $y = x^m$에 대입하고, 로그 공식 $a = e^{\ln {a}}$과 Euler's formula를 이용하여 식을 정리하면

 $y_{1} = x^{\alpha + i\beta}  = x^{\alpha} \cdot e^{i\beta\ln {x}} = x^{\alpha}(\cos {(\beta\ln {x})} + i\sin {(\beta\ln {x})})$     (21)

 $y_{2} = x^{\alpha - i\beta}  = x^{\alpha} \cdot e^{-i\beta\ln{x}} = x^{\alpha}(\cos {(\beta\ln {x})} - i\sin {(\beta\ln {x})})$     (22)

(21)과 (22)에서 구한 Basis로 General solution을 구할 수 있습니다.

 $y = c_{1}y_{1} + c_{2} y_{2} = x^{\alpha}((c_{1} + c_{2})\cos {(\beta\ln {x})} + (c_{1} - c_{2})i\sin {(\beta\ln {x})})$     (23)

(23)의 상수 계수를 간단히 쓰면 General solution을 구할 수 있습니다.

 $\therefore y = x^{\alpha}(A\cos {(\beta\ln{x})} + B\sin {(\beta\ln {x})})$     (24)

 

이번 포스팅은 여기서 마치겠습니다. 다음 포스팅에서는 Wronskian에 대해 다루겠습니다.