4. 적분 인자

 4.Integrating Factors.

 $M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0$에서 exact 할 조건인 $\frac {\partial M}{\partial y} = \frac {\partial N}{\partial x}$를 항상 만족하는 것은 아닙니다. 하지만 이전 포스트의 방법으로 풀기 위해서는 먼저 exact 하다는 조건을 만족해야 했습니다. 만일 exact하지 않은 경우인 $\frac {\partial P}{\partial y} \neq \frac {\partial Q}{\partial x}$인 $P(x, y)$, $Q(x, y)$가 있다고 합시다. $P$,$Q$로 이루어진 미분방정식 $P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0$은 exact하지 않기 때문에 이전 포스트의 방법으로는 풀 수가 없습니다. 하지만 미지 함수 $F(x, y)$를 양변에 곱하여 만일 exact 하게 된다면, 우리는 이전 포스트의 방법으로 풀 수 있게 됩니다. 이번 포스트의 내용은 exact하지 않은 경우를 exact 하게 만들어주는 $F$를 어떻게 구하는지 작성하겠습니다.

 양변에 $F$를 곱한 미분방정식을 간단히 써보면 다음과 같습니다.

$FPdx + FQdy = 0$     (1)

 이 미분방정식이 exact OED라고 했기 때문에, 다음과 같은 조건을 만족합니다.

$\frac {\partial (FP)}{\partial y} = \frac {\partial (FQ)}{\partial x}$     (2)

 (2)를 곱의 미분법으로 풀어서 다시 써보면

$\frac {\partial F}{\partial y}P + F\frac {\partial P}{\partial y} = \frac {\partial F}{\partial x}Q + F\frac {\partial Q}{\partial x}$     (3)

 이 됩니다. 식을 더 간단히 나타내기 위하여 $F$가 독립변수 $x$만 가지는 함수 $F(x)$라 가정합시다. 그렇게 되면 $F$를 $y$에 대해 편미분한 항은 소거됩니다. 다시 식을 써보면

$F\frac {\partial P}{\partial y} = F'Q + F\frac {\partial Q}{\partial x}$     (4)

이고, 조금 더 식을 정리해보도록 하겠습니다.

$F'Q = F(\frac {\partial P}{\partial y} - \frac {\partial Q}{\partial x})$     (5)

$\frac {1}{F}\frac {dF}{dx} = \frac {1}{Q}(\frac {\partial P}{\partial y} - \frac {\partial Q}{\partial x})$     (6)

 (6)의 좌변을 R로 치환합시다. 그러면 $R = \frac {1}{F}\frac {dF}{dx}$이 되고, 양변을 변수분리하고 적분을 수행하게 되면 다음과 같습니다.

 $\ln {F} = \int Rdx$     (7)

 $F(x) = e^{\int R(x)dx}$     (8)

 이때 $R$은 (5)에서 $R = \frac{1}{Q}(\frac {\partial P}{\partial y} - \frac {\partial Q}{\partial x})$임을 알 수 있습니다.

 가정을 바꾸어 $F$가 독립변수 $y$만을 가지는 함수 $F(y)$라 하여도 같은 방법으로 결론을 도출할 수 있습니다. 이 경우에는

 $R^* = \frac {1}{P}(\frac {\partial Q}{\partial x} - \frac {\partial P}{\partial y})$     (9)

 $F^*(y) = e^{\int R^*(y)dy}$     (10)

 여기서 $F$를 Integrating factor라고 합니다. 상황에 따라 (8) 식이나 (10)식 중 적절한 식을 골라 $F$를 구하면 되겠습니다. 예제를 하나 풀어보겠습니다.

 

 Ex) $2xydx + (2x^2 + 3y)dy = 0$

$P = 2xy$ ,   $Q = (2x^2 + 3y)$이고, exact 한 지 확인해봅시다.

$\frac {\partial P}{\partial y} = 2x$,    $\frac {\partial Q}{\partial x} = 4x$

 exact하지 않네요. exact하게 만들기 위해 Integrating factor를 구해봅시다.

 

 method 1)

 (8)의 방법으로 구해봅시다.

$R(x) = \frac {1}{2x^2 + 3y}(2x - 4x) = -\frac{2x}{2x^2 + 3y}$

R(x)라는 가정이 틀렸습니다. 식이 $x,y$ 두 가지 독립 변수가 나왔기 때문입니다. 따라서 이 방법으로는 풀 수가 없겠네요. 다른 방법을 써봅시다.

 

 method 2)

 (10)의 방법으로 다시 구해봅시다.

$R(y) = \frac {1}{2xy}(4x - 2x) = \frac {1}{y}$

$R(y) = \frac {1}{y}$로 구할 수 있겠네요. (10)에 대입하여 $F$를 구해봅시다.

$F(y) = e^{\int \frac {1}{y}dy} = e^{\ln {y}} = y$

 따라서 $F(y) = y$임을 알게 되었네요. 구한 $F$를 양변에 곱해봅시다. 그렇다면 주어진 미분방정식은

$2xy^2dx + (2x^2y + 3y^2)dy = 0$

 exact한지 다시 확인해 봅시다.

$\frac {\partial}{\partial y}(2xy^2) = 4xy$,     $\frac {\partial}{\partial x}(2x^2y + 3y^2) = 4xy$

 서로 같으니 exact 하네요. 이제 이전 포스트의 방법대로 풀면 되겠습니다.

$u = \int 2xy^2 dx + k(y) = x^2y^2 + k(y)$

$\frac {\partial u}{\partial y} = 2x^2y + k'(y) = 2x^2y + 3y^2$

$k'(y) = 3y^2$,     $\therefore k(y) = y^3$

$\therefore u = x^2y^2 + y^3 = c$

 

sol) $x^2y^2 + y^3 = c$  (단, $c$는 상수)

 

다음 포스팅은 First-Order Linear ODEs에 대해 다루겠습니다.