5. 1계 선형 상미분방정식

 First-Order linear ODE란 다음과 같은 형태의 미분방정식을 말합니다.

 $y' + p(x) y = r(x)$     (1)

이때 $p, r$은 $x$에 대한 함수입니다. 가장 높은 차수의 미분항이 일계도함수이기 때문에 First-order이고, 종속 변수 $y$의 계수가 모두 $x$에 대한 함수로 이루어져 있기 때문에 주어진 미분방정식은 linear 합니다. 따라서 First-order linear ODE임을 알 수 있습니다.

 

5.1. homogeneous linear ODE

 (1)에서 $r(x) = 0$인 ODE를 homogeneous linear ODE라고 합니다. 미분방정식을 다시 쓰면

 $y' + p(x)y = 0$     (2)

가 됩니다. 변수분리로 풀면 어렵지 않게 풀 수 있겠네요. General solution을 구해봅시다.

 $\frac {dy}{y} = -p(x) dx$     (3)

양변을 각 변수에 대하여 적분해 줍시다.

 $\ln {|y|} = - \int p(x)dx + c'$     (4)

 $y$에 대하여 정리합니다.

 $y(x) = e^{- \int p(x)dxp(x) dx +c'} = ce^{- \int p(x) dx}$    

 $\therefore y(x) = ce^{- \int p(x)dx}$     (5)

 

5.2. non-homogeneous linear ODE

 주어진 미분방정식이 $r(x) \neq 0$인 ODE를 non-homogeneous linear ODE라고 합니다. 미분방정식을 풀기 위해 주어진 식을 변형하면 다음과 같습니다.

 $(py-r)dx + dy = 0$     (6)

$P = (py-r)$,     $Q = 1$인 exact ODE꼴의 방정식으로 변형됩니다. 주어진 식이 exact 한 지 확인해봅시다.

 $\frac {\partial}{\partial y} (py-r) = p$     (6a) ,     $\frac {\partial}{\partial x} (1) = 0$     (6b)

$\frac {\partial P}{\partial y} \neq \frac {\partial Q}{\partial x}$이므로 not exact 합니다. 이제 Integrating factor를 찾아봅시다.

 $R = \frac {1}{Q} (\frac {\partial P}{\partial y} - \frac {\partial Q}{\partial x}) = 1\cdot (p - 0) = p$     (7)

 $F = e^{\int pdx}$     (8)

이제 구한 Integrating factor를 (1)의 양변에 곱해봅시다. 그렇다면 다음과 같아집니다.

 $e^{\int pdx}(y' + py) = e^{\int pdx}r$     (9)

(9)의 좌변은 $\frac {d}{dx} (e^{\int pdx}y)$와 같습니다. 식을 $\frac {d}{dx} (e^{\int pdx}y) = e^{\int pdx}r$로 다시 쓰고 양변을 x에 대해 적분하면 다음과 같습니다.

 $e^{\int pdx}y = \int e^{\int pdx} rdx + c$     (10)

식을 간단히 하기 위해 $h = \int pdx$라 하고 식을 $y$에 대하여 정리하면 다음과 같은 General solution을 얻을 수 있습니다.

 $y = e^{-h}\int e^hrdx +ce^{-h}$     (11)

예제를 풀어보겠습니다.

 

Ex)1. $y' +y\tan {x} = \sin {2x}$

$h$를 먼저 구해봅시다. 식을 대입하여 구해봅시다.

 $h = \int pdx = \int \tan {x} dx = \ln {|{\sec {x}}|}$     (12)

(12)에서 구한 $h$를 (11)에 대입해봅시다.

 $y = e^{-\ln {|\sec {x}|}}(\int e^{\ln {|\sec {x}|}}\sin {2x} dx) + ce^{-\ln {|\sec {x}|}}$     (13)

로그 공식 $a^{\ln {b}} = b^{\ln {a}}$를 이용하여 (13)을 간단히 다시 써 봅시다.

 $y = \cos {x}(\int \sec {x}\sin {2x} dx) + c\cos {x} = \cos {x}(\int 2\sin {x} dx) + c\cos {x}$     (14)

(14)의 적분을 풀어 General solution을 얻습니다.

 sol) $y = -2\cos^2 {x} + c\cos {x}$

 

Ex) 2. $x^2y' + 3xy = \frac {1}{x}$,     $y(1) = -1$

 주어진 식을 (1)에 맞게 정리해봅시다. 양변에 $x^{-2}$를 곱하면 다음과 같습니다.

$y' + \frac {3}{x} y = x^{-3}$     (15)

 $p(x) = \frac {3}{x}$,     $r(x) = x^{-3}$임을 알 수 있습니다. $h$를 구해봅시다.

$h = \int \frac {3}{x}dx = \ln {|x^3|}$     (16)

 (16)을 (11)에 대입합시다. 식은 다음과 같아집니다.

$y = e^{-\ln {|x^3|}}(\int e^{\ln {|x^3|}}x^{-3} dx) + ce^{-\ln {|x^3|}} = x^{-3}(\int x^3x^{-3} dx) + cx^{-3}$     (17)

 (17)의 적분항을 수행하여 General solution을 먼저 구합니다.

 $y = x^{-3}\cdot x + cx^{-3} =x^{-3}(x+c)$      (18)

 주어진 Initial value를 (18)에 대입하여 적분 상수 $c$를 구하여 solution을 구합니다,

 $-1 =1^{-3}(1+c)$     $\therefore c = -2$

 sol) $y = x^{-3}(x - 2)$

 

다음은 Bernoulli eqation에 관해 포스팅 할 예정입니다.