3. 완전 상미분방정식

 3. Exact ODEs.

 두 개의 독립 변수 $x, y$로 이루어진 미지 함수 $u(x, y)$가 있다고 합시다. 이 함수 $u$가 연속이고 각 독립 변수에 대해 연속인 편도함수가 존재하면, $u$의 미분(전미분)은 다음과 같습니다.

$du = \frac {\partial u}{\partial x}dx + \frac {\partial u}{\partial y}dy$     (1)

잠시 First-order ODE인 다음 미분방정식이 있다고 합시다.

 $M(x, y) + N(x, y)y' = 0$     (2)

이를 다시 정리하면

 $M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0$     (3)

(3)과 같은 형태의 미분방정식을 Exact differential eqation(완전미분방정식)이라 합니다. 여기서

 $\frac {\partial u}{\partial x} = M(x, y)$     (4a) ,      $\frac {\partial u}{\partial y} = N(x, y)$     (4b)

이라 하면, (3)의 식의 좌변은 (1)식의 우변과 같은 형태임을 알 수 있습니다. 따라서 완전미분방정식 형태라면((3)과 같은 형태라면), (1)에 의하여 다음과 같은 결론을 얻을 수 있습니다.

  $du = 0$ , $u(x, y) = c(c는 임의의 상수)$     (5)

$M, N$이 연속함수이고 $xy$평면내에 닫힌 구간에서 연속인 편도함수가 존재하면,  $M, N$에 대하여

 $\frac {\partial M}{\partial y} = \frac {\partial^2 u}{\partial y\partial x} , \frac {\partial N}{\partial x}  = \frac {\partial^2 u}{\partial x\partial y}$     (6)

라고 할 수 있습니다. 연속이기 때문에 (6)의 이계편도함수는 동일합니다. 식으로 다시 써보면

 $\frac {\partial^2 u}{\partial y\partial x} = \frac {\partial^2 u}{\partial x\partial y}$ ,    $\therefore \frac {\partial M}{\partial y} = \frac {\partial N}{\partial x}$     (7)

즉, exact하다면 (7)의 식을 만족하게 됩니다.

 이제 완전미분방정식을 풀어봅시다. (4a)에서, 다음과 같은 식을 얻을 수 있습니다.

$u = \int Mdx + k(y)$     (8)

 이때 적분은 독립변수 x에 대한 편적분입니다. 그렇기 때문에 $k(y)$는 여기서 적분 상수 역할을 하게 됩니다. (8)에서 양변을 y에 대해 편미분을 하면 (4a)를 얻게 됩니다. 또한 (4b)를 이용하여 다음과 같은 식을 얻을 수 있습니다.

$u = \int Ndy + l(x)$     (9)

 예제를 하나 풀어보도록 하겠습니다.

 

Ex)1. $2xydx + x^2dy = 0$

 $M = 2xy, N = x^2$입니다. 먼저 exact 한 지 체크하기 위해 (7)식을 적용합니다.

 $\frac {\partial M}{\partial y} = 2x$, $\frac {\partial N}{\partial x} = 2x$.     $\therefore \frac {\partial M}{\partial y} = \frac {\partial N}{\partial x}$

exact하다고 확인되었네요. 이제 (8)에 식을 대입합니다.

 $u = \int 2xydx + k(y) = x^2y + k(y) = c$     (10)

(10)을 $y$에대해 편미분을 합시다. 그렇다면 다음과 같은 식을 얻게 됩니다.

 $\frac {\partial u}{\partial y} = x^2 + k'(y)$     (11)

$\frac {\partial u}{\partial y} = N$임을 알고 있습니다. $N = x^2$이기 때문에 $k'(y) = 0$임을 알 수 있습니다. 따라서 $k(y) = c'$임을 알게 되었네요. (10)을 다시 써보면

 $u = x^2y + c' = c$     $\therefore u= x^2y = c (c는 임의의 상수)$

$y$에 대해 식을 다시 정리해봅시다.

(sol) $y = \frac {c}{x^2}$

 

 (3)의 형태를 했다고 해서 무조건 (7)을 만족하는 건 아니죠. not exact 한 미분방정식을 exact OED로 바꾸어 주는 도구인 Integrating Factor을 다음 포스팅에서 다루겠습니다.