33. 벡터미적분학 : 미분, 곡선

33.1. Vector Calculus : Derivatives.

 3차원위의 임의의 점 $P$를 가리키는 벡터 함수를 다음과 같이 정의합시다.

$\mathbf {v} = \mathbf {v}(P) = [v_1(P), v_2(P), v_3(P)] = v_1(P)\mathbf {i} + v_2(P)\mathbf {j} + v_3(P)\mathbf {k}\cdots(1)$

 이 벡터 함수가 점 $t_0$에서 다음을 식을 만족한다고 합시다.

$\lim_{t \to t_0} \mathbf {v}(t) = \mathbf {v}(t_0)\cdots(2)$

 (2)를 만족하면 이 벡터 함수는 $t = t_0$인 점에서 연속이라고 합니다.

 미적분학에서 $t$에서 연속이고 $t$에서 좌미분계수와 우미분계수가 같다면, 점 $t$에서 미분 가능하다는 것을 알고 있습니다. 벡터 함수에도 똑같이 적용됩니다. 다음 극한값이 존재하고 $t$에서 연속이면 $\mathbf {v}$에서 미분 가능하고, 미분한 함수를 $\mathbf {v}'$라고 합시다.

$\mathbf {v}'(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac {\mathbf {v}(t + \Delta t) - \mathbf {v}(t)}{\Delta t} \cdots (3)$

 (1)처럼 성분으로 나타낸 벡터 함수는 각각의 성분을 미분하면 됩니다.

$\mathbf {v}'(t) = [v_1'(t), v_2'(t), v_3'(t)] \cdots (4)$

 벡터의 미분은 다음과 같은 법칙을 만족합니다.

 1) $(c\mathbf {v})' = c\mathbf {v}'$

 2) $(\mathbf {u} + \mathbf {v})' = \mathbf {u}' + \mathbf {v}'$

 3) $(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v})' = \mathbf {u}'\cdot\mathbf {v} + \mathbf {u}\cdot\mathbf {v}'$

 4) $(\mathbf {u} \times \mathbf {v})' = \mathbf {u}'\times\mathbf {v} + \mathbf {u}\times\mathbf {v}'$

 5) $(\mathbf {u\ v\ w})' = (\mathbf {u'\ v\ w}) + (\mathbf {u\ v'\ w}) + (\mathbf {u\ v\ w'})$

 편미분 또한 상미분의 경우와 계산하는 방법이 유사합니다. 각각 성분을 편미분 해주면 됩니다. $\mathbf {v}$를 변수 $t_m$에 대하여 편미분 한 벡터 함수는 다음과 같습니다.

$\frac {\partial \mathbf {v}}{\partial t_m} = \frac {\partial v_1}{\partial t_m}\mathbf {i} + \frac {\partial v_2}{\partial t_m}\mathbf {j} + \frac {\partial v_3}{\partial t_m}\mathbf {k}\cdots(5)$

 예제를 몇 개 풀어봅시다.

 

 Ex) 1. $|\mathbf {v}| = c$

 예시는 벡터의 크기가 일정한 경우입니다. 이는 $c$를 반지름으로 하는 원임을 예상할 수 있습니다. $|\mathbf {v}|$를 제곱해 봅시다.

$|\mathbf {v}|^2 = \mathbf {v} \cdot \mathbf {v} = c^2\cdots(6)$

 (6)을 미분해봅시다.

$(\mathbf {v}\cdot\mathbf {v})' = 2\mathbf {v}\cdot\mathbf {v}' = 0\cdots(7)$

 (7)에서 내적 값이 0이므로, $\mathbf {v} = \mathbf {0}$이거나 $\mathbf {v}$와 $\mathbf {v}'$가 수직이라고 결론 내릴 수 있습니다. $\mathbf {v}$와 $\mathbf {v}'$가 수직인 경우를 생각해 봅시다. 미분 함수를 그 점의 접선의 기울기라고 할 수 있습니다. $|\mathbf {v}| = c$인 모든 점에서 접선의 기울기가 수직이므로, 주어진 예제는 $c$를 반지름으로 하는 원임을 확인 할 수 있습니다.

 

 Ex) 2. $\mathbf {r} = [e^x \cos {y}, e^x\sin {y}]$

 $x,y$ 각각의 변수에 편미분 한 미분 함수를 구해봅시다. 먼저 $x$에 대하여 편미분 해봅시다.

$\frac {\partial \mathbf {r}}{\partial x} = [\frac {\partial}{\partial x}(e^x \cos {y}),\frac {\partial}{\partial x} (e^x\sin {y})] = [e^x \cos {y},e^x\sin {y}] \cdots (8)$

 이번에는 $y$에 대하여 편미분 해 봅시다.

$\frac {\partial \mathbf {r}}{\partial y} = [\frac {\partial}{\partial y}(e^x \cos {y}),\frac {\partial}{\partial y} (e^x\sin {y})] = [-e^x \sin {y}, e^x\cos {y}] \cdots (9)$

 

33.2. Curves.

 곡선 $C$를 매개 변수 $t$를 통해 나타낼 수 있다고 합시다. 이때 곡선의 위치 벡터 $\mathbf {r}(t)$는 다음과 같습니다.

 $\mathbf {r}(t) = [x(t),y(t),z(t)] = x(t)\mathbf {i} + y(t)\mathbf {j} + z(t)\mathbf {k}\cdots (10)$

[그림 1]^[각주:1]처럼 나타 낼 수 있습니다.

[그림 1] 매개 변수 $t$로 나타낸 곡선 C의 위치 벡터

 매개 변수를 이용하여 위치 벡터를 구하면, $x,y,z$ 세 가지 독립 변수를 사용하여 곡선을 나타내는 것이 아닌, 더 적은 독립 변수를 사용하여 곡선을 나타낼 수 있기 때문에, 계산이 간단해지는 장점이 있습니다. 예제를 풀어봅시다.

 

 Ex) 3. $x^2 + y^2 = 4$, $z=0$

 주어진 예제는 원점이 중심이고 반지름이 2인 원을 의미합니다. $z = 0$이므로, $xy$-평면 위의 원으로 생각해도 됩니다. 매개 변수 $t$를 이용하여 위치 벡터를 나타내 봅시다. 원 위의 임의의 점을 가리키는 위치 벡터를 $\mathbf {r}(t)$라 하고, $t$를 위치 벡터와 $x$-축과 양의 방향으로 이루는 각이라고 생각해 봅시다. [그림 2]를 참고하면 다음과 같습니다.

[그림 2] 예제 3의 위치벡터 $\mathbf {r}(t)$와 매개 변수 $t$

 이 때 $x = 2\cos {t}$, $y = 2\sin {t}$임을 나타낼 수 있습니다. 그렇다면 예제 2의 위치 벡터는 다음과 같이 구할 수 있습니다.

 $\mathbf {r}(t) = [2\cos {t}, 2\sin {t},0]\cdots (11)$

 

 Ex) 4. $xy$-평면 위의 타원.

 $xy$-평면 위의 타원이므로 $z$성분은 $z=0$임을 바로 알 수 있습니다. $xy$-평면 위의 주축이 $x$,$y$축인 타원의 방정식의 일반형은 다음과 같습니다.

$\frac {x^2}{a^2} + \frac {y^2}{b^2} = 1\cdots(12)$

 (12)와 유사한 공식이 있습니다. 바로 $\cos^2 {t} + \sin^2 {t} = 1$입니다. (12)를 이와 같은 형태로 다음 식을 이용해 고칠 수 있습니다.

$\frac {x^2}{a^2} = \cos^2{t}$, $\frac {y^2}{b^2} = \sin^2 {t}\cdots (13)$

 (13)을 $x$,$y$에 대하여 정리해봅시다.

$x=a\cos {t}$, $y = b\sin {t}\cdots(14)$

 (14)의 결과를 통해 타원의 위치 벡터를 구하면 다음과 같습니다.

$\mathbf {r}(t) = [a\cos {t},b\sin {t},0]\cdots(15)$

 

 Ex) 5. 직선.

 하나의 직선으로 정해질 조건은 직선 위의 한 점과 직선의 방향 벡터가 주어졌거나, 직선 위의 두 점이 주어지면 됩니다. 사실 두 점의 위치 벡터를 빼면 직선의 방향벡터를 구할 수 있으므로, 둘은 같은 말입니다. [그림 3]^[각주:2]을 참고해 봅시다.

[그림 3] 매개 변수로 표현한 직선의 방정식

 [그림 3]에서 $\mathbf {a} = [a_1,a_2,a_3]$, $\mathbf {b} = [b_1, b_2, b_3]$이라 합시다. 직선의 방정식을 구하면

$\mathbf {r}(t) = \mathbf {a} + t\mathbf {b}\cdots (16)$

 (16)을 성분으로 나타내 봅시다.

$\mathbf {r}(t) = [a_1 + tb_1,a_2 + tb_2, a_3 + tb_3] \cdots (17)$

 즉 직선의 방정식을 구하기 위해서는, 직선의 방향 벡터와 적어도 하나의 직선 위의 점의 위치 벡터가 필요합니다.

 

 Ex) 5. 원형 나선.

 [그림 4]^[각주:3]와 같은 원형 나선의 위치 벡터를 구해 봅시다.

[그림 4] 원형 나선

 원형 나선 경로가 따라가는 도형이 원기둥입니다. 원기둥의 밑면은 원이며, $x$,$y$는 이 원의 궤도를 따릅니다. 원의 반지름이 $a$라 하면, 위치 벡터 $\mathbf {r}(t)$의 $x$,$y$는 각각 $x = a\cos {t}$, $y = b\sin {t}$임을 알 수 있습니다.

 원형 나선 경로가 $z$축으로 오르는 비율이 일정하다고 합시다. 그렇다면 $z$성분은 $z = ct\ (t$는 상수)라 할 수 있습니다.

 따라서 이 원형 나선의 위치 벡터는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

$\mathbf {r}(t) = [a\cos {t},b\sin {t}, ct]\cdots (18)$

 

 이번 포스팅은 여기서 마치겠습니다. 다음 포스팅에서 Tangent to a Curve, Length of a Curve에 대하여 다룰 예정입니다.

 

1. 이미지 출처 : Erwin Kreyszig, Advaced Engineering mathematics 10th edition, pp. 381 [본문으로]
2. 이미지 출처 : 같은 책, pp. 383 [본문으로]
3. 같은 책, pp 383. [본문으로]