10. 론스키안(Wronskian)

 Wronskian이란 Homogeneous linear ODE $y'' + p(x) y' + q(x) y = 0$의 두 solution $y_{1}$, $y_{2}$가 서로 Linearly dependent 한 지, Linearly independent 한지 구분할 수 있는 도구입니다. 먼저 정리부터 보여드리고 증명을 진행하겠습니다.

 

Theorem)

 1. ODE $y'' + p(x)y' + q(x) y = 0$의 열린 구간 $I$의 두 solution $y_{1}$, $y_{2}$가 Wronskian

$W(y_{1}, y_{2}) = y_{1} y_{2}' - y_{2} y_{1}'$     (1)

    의 값이 $I$에 임의의 $x = x_{0}$에서 0일 때 $y_{1}$, $y_{2}$는 $I$에서 Linearly dependent 합니다.

 2. 만일 $I$에 $x = x_{0}$에서 $W = 0$이면, $I$에서 $W = 0$입니다.

 3. 만일 $I$에 $x = x_{0}$에서 $W \neq 0$이면, y_{1}, y_{2}는 Linearly independent 합니다.

 

Proof)

 1. $I$에서 Linearly dependent 한 $y_{1}$, $y_{2}$가 있다고 합시다. 그렇다면 $I$에서 $W = 0$입니다.

     $y_{1} = ky_{2}$라 하면,

$W(y_{1}, y_{2}) = ky_{2} y_{2}' - y_{2} ky_{2}' = 0$     (2)

 2. 몇몇 $x = x_{0}$에서 $W = 0$라 합시다.

 3. 다음과 같은 방정식 두 개가 있다고 합시다.

$k_{1} y_{1}(x_{0}) + k_{2} y_{2}(x_{0}) = 0$     (3)

$k_{1} y_{1}'(x_{0}) + k_{2} y_{2}'(x_{0}) = 0$     (4)

    $k_{2}$를 소거하기 위해 (3)의 양변에 $y_{2}'$를 곱하고, (4)의 양변에 $-y_{2}$를 곱하여 더합니다. 그렇다면 식은

    다음과 같습니다.

$k_{1} y_{1}(x_{0})y_{2}'(x_{0}) - k_{1} y_{1}'(x_{0})y_{2}(x_{0}) = k_{1} W(y_{1}(x_{0}), y_{2}(x_{0})) = 0$     (5)

    만일 (5)에서 $W \neq 0$라면 $W$로 양변을 나눌 수 있고, 그렇게 되면 $k_{1} = 0$을 얻게 됩니다. 또한 (3), (4)을

    만족하기 위해 $k_{2} = 0$임을 알 수 있습니다. 만약 $W = 0$이면 (5)의 양변을 $W$로 나눌 수 없게 됩니다.

    그렇다면 $k_{1}$, $k_{2}$는 0이 아닙니다. 이 임의의 수 $k_{1}$, $k_{2}$를 이용하여 다음과 같은 식을 생각합시다.

$y = k_{1} y_{1}(x) + k_{2} y_{2}(x)$     (6)

 4. $I$에 $x_{0}$에서 $W = 0$이라면 3의 (3)에서 $k_{1}$과 $k_{2}$가 0이 아니기 때문에 $y_{1}$과 $y_{2}$는 $I$에서

    Linearly dependent 합니다. 이는 1에서 확인해 볼 수 있습니다. $I$에 $x_{1}$에서 $W \neq 0$이라면 $k_{1} =$

    $k_{2}= 0$이게 되므로 Linearly independent 함을 알 수 있습니다.

 

 Wronskian을 다음과 같이 간단한 행렬식으로 나타낼 수 있습니다.

$W(y_{1}, y_{2}) = y_{1} y_{2}' - y_{1}'y_{2} = det(\begin {bmatrix} y_{1} & y_{2} \\{y_{1}'} & {y_{2}'} \end {bmatrix})$     (7)

 

  다음 포스팅은 Non-homogeneous ODE를 푸는 방법에 대해 작성할 예정입니다.