공업수학43 11. 비제차 상미분방정식 - 미정계수법 Second-order ODE의 기본 형태는 다음과 같음을 알고 있습니다. $y'' + p(x) y' + g(x) y = r(x)$ (1) (1)에서 $r(x) = 0$이면 homogeneous ODE임을 알고 있습니다. 그렇다면 $r(x) \neq 0$라면 Nonhomogeneous ODE겠죠? Nonhomogeneous ODE의 Solution $y$는 다음과 같이 나타냅니다. $y(x) = y_{h}(x) + y_{p}(x)$ (2) (2)에서 $y_{h}$는 homogeneous ODE의 General solution이고, $y_{p}$는 Particular solution이라 합니다. 새로 추가된 항 $y_{p}$가 있는 만큼, Nonhomogeneous ODE의 solution은 $y_{p}$.. 2020. 4. 21. 10. 론스키안(Wronskian) Wronskian이란 Homogeneous linear ODE $y'' + p(x) y' + q(x) y = 0$의 두 solution $y_{1}$, $y_{2}$가 서로 Linearly dependent 한 지, Linearly independent 한지 구분할 수 있는 도구입니다. 먼저 정리부터 보여드리고 증명을 진행하겠습니다. Theorem) 1. ODE $y'' + p(x)y' + q(x) y = 0$의 열린 구간 $I$의 두 solution $y_{1}$, $y_{2}$가 Wronskian $W(y_{1}, y_{2}) = y_{1} y_{2}' - y_{2} y_{1}'$ (1) 의 값이 $I$에 임의의 $x = x_{0}$에서 0일 때 $y_{1}$, $y_{2}$는 $I$에서 Linear.. 2020. 4. 20. 9. 오일러-코시 방정식(Euler-Cauchy Equation) 다음과 같은 형태의 방정식을 Euler-Cauchy equation이라 합니다. $x^2y'' + axy' + by = 0$ (1) Solution을 $y = x^m$이라 합시다. 차례대로 미분하면 $y' = mx^{m-1}$ (2a), $y'' = m(m-1) x^{m-2}$ (2b) (2a), (2b)를 (1)에 대입하면 다음과 같습니다. $x^2m(m-1)x^{m-2} + axmx^{m-1} + bx^m = 0$ (3) (3)식을 정리하면 $(m^2 + (a-1)m +b) x^m = 0$ (4) (4)에서 Characteristic equation을 얻을 수 있습니다. $m^2 + (a-1)m + b = 0$ (5) 근의 공식을 이용하여 (5)의 근을 구해 봅시다. $m_{1,2} = \frac {.. 2020. 4. 17. 8. 상수 계수를 갖는 제차 선형 상미분방정식 다음과 같은 Homogeneous linear ODE가 있다고 합시다. $a$, $b$는 임의의 상수입니다. $y'' + ay' + by = 0$ (1) 앞서 우리는 First order ODE의 상수 계수를 가질 때 solution을 다음과 같음을 알고 있습니다. $y' + ky = 0$, $y = ce^{-kx}$ 이를 Second order로도 적용해 봅시다. solution을 다음과 같다고 합시다. $y = e^{\lambda x}$ (2) 미분을 차례대로 해봅시다. $y' = \lambda e^{\lambda x}$ (3) $y'' = \lambda^2 e^{\lambda x}$ (4) (2), (3), (4)를 (1)에 대입하여 식을 정리합시다. $(\lambda^2 + a\lambda + b.. 2020. 4. 16. 이전 1 ··· 6 7 8 9 10 11 다음